2) Montrer qu’il n’existe pas X dans M 3 (R) telle que X
2 = A.
1) Un simple calcul montre que A
2
= 0 et A
3 = 0.
2) Supposons qu’il existe une matrice X dans M 3 (R) telle que X
2 = A. On a alors
X
6 = 0, ce qui montre que X est nilpotente. On sait alors que son indice de
nilpotence est inférieur ou égal à 3. On a donc X
3 = 0 et par suite X
4 = X
3 X = 0,
ce qui contredit X
4 = A
2
= 0. On en déduit que l’équation matricielle X
2 = A
n’a pas de solution.
4.1.3 Matrices et applications linéaires
Ce qu’il faut savoir
Soit (n, p) ∈ N
∗
× N
∗ .
• Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p.
Soient B E = (e 1 , . . . , e n ) une base de E et B F = ( f 1 , . . . , f p ) une base de F.
Soit u dans L(E, F). Pour tout i dans [[1, n]], il existe un unique élément
(m i1 , . . . , m i p ) dans K
p tel que u(e j ) =
r
i=1
m i j f i .
◦ On appelle alors matrice de u dans les bases B E et B F la matrice M B E B F (u)
de M p,n (K) définie par :
M B E B F (u) =
u(e 1 ) . . . u(e n )
⎛
⎝
⎞
⎠
m 11 . . . m 1n
f 1
. . .
. . .
. . .
m p1 . . . m pn
f p
.
◦ On retiendra que les colonnes de la matrice de u (dans les bases B E et B F ),
sont données par les coordonnées des vecteurs u(e j ) dans la base B F .
◦ Lorsque F = E et B E = B F , on note M B E (u) la matrice M B E B F (u).
• Soit (x, y) dans E × F, il existe (x 1 , · · · , x n ) ∈ K
n tel que x =
n
i=1
x i e i et il
existe (y 1 , · · · , y p ) ∈ K
p tel que y =
p
i=1
y i f i . Posons X =
t (x 1 , · · · , x n ) et
Y =
t (y 1 , · · · , y p ).
On a
y = u(x) ⇔ Y = M B E B F (u)X .
• Soit B E une base fixée de E.
L’application de (L(E), +, ·, ◦) dans (M n (K), +, ·, ×) qui, à u associe M B E (u),
est un isomorphisme d’algèbres. En particulier, pour tout ( f , g) ∈ L(E)×L(E),
2 = A.
1) Un simple calcul montre que A
2
= 0 et A
3 = 0.
2) Supposons qu’il existe une matrice X dans M 3 (R) telle que X
2 = A. On a alors
X
6 = 0, ce qui montre que X est nilpotente. On sait alors que son indice de
nilpotence est inférieur ou égal à 3. On a donc X
3 = 0 et par suite X
4 = X
3 X = 0,
ce qui contredit X
4 = A
2
= 0. On en déduit que l’équation matricielle X
2 = A
n’a pas de solution.
4.1.3 Matrices et applications linéaires
Ce qu’il faut savoir
Soit (n, p) ∈ N
∗
× N
∗ .
• Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p.
Soient B E = (e 1 , . . . , e n ) une base de E et B F = ( f 1 , . . . , f p ) une base de F.
Soit u dans L(E, F). Pour tout i dans [[1, n]], il existe un unique élément
(m i1 , . . . , m i p ) dans K
p tel que u(e j ) =
r
i=1
m i j f i .
◦ On appelle alors matrice de u dans les bases B E et B F la matrice M B E B F (u)
de M p,n (K) définie par :
M B E B F (u) =
u(e 1 ) . . . u(e n )
⎛
⎝
⎞
⎠
m 11 . . . m 1n
f 1
. . .
. . .
. . .
m p1 . . . m pn
f p
.
◦ On retiendra que les colonnes de la matrice de u (dans les bases B E et B F ),
sont données par les coordonnées des vecteurs u(e j ) dans la base B F .
◦ Lorsque F = E et B E = B F , on note M B E (u) la matrice M B E B F (u).
• Soit (x, y) dans E × F, il existe (x 1 , · · · , x n ) ∈ K
n tel que x =
n
i=1
x i e i et il
existe (y 1 , · · · , y p ) ∈ K
p tel que y =
p
i=1
y i f i . Posons X =
t (x 1 , · · · , x n ) et
Y =
t (y 1 , · · · , y p ).
On a
y = u(x) ⇔ Y = M B E B F (u)X .
• Soit B E une base fixée de E.
L’application de (L(E), +, ·, ◦) dans (M n (K), +, ·, ×) qui, à u associe M B E (u),
est un isomorphisme d’algèbres. En particulier, pour tout ( f , g) ∈ L(E)×L(E),