Exercice 4.3
CCP MP 2007
Soit A =
1 −2
1
4
. Calculer A
n , pour n dans N.
Indication de la rédaction : on cherchera un polynôme annulateur de A de
degré 2.
Commençons par calculer A
2 . On obtient A
2 =
−1 −10
5
14
. On remarque alors
que A
2 = 5A − 6I n . Le polynôme P(X ) = X
2
− 5X + 6 est donc un polynôme
annulateur de A.
Soit n dans N. Il existe un unique (a n , b n ) dans R
2 et un unique Q dans R [X ] tels
que X
n = Q(X )P(X ) + a n X + b n (division euclidienne de X
n par P). En remarquant
que P(2) = P(3) = 0, on détermine a n et b n :
2
n = 2a n + b n
3
n = 3a n + b n
.
On en déduit a n = 3
n
− 2
n et b n = 3·2
n
− 2·3
n . Ainsi, pour n dans N, on a :
A
n = Q(A)P( A) + a n A + b n I n = a n A + b n I n = (3
n
− 2
n )A + (3·2
n
− 2·3
n )I n .
On en déduit ∀n ∈ N, A
n =
2
n+1
− 3
n 2
n+1
− 2·3
n
3
n
− 2
n
2·3
n
− 2
n
.
4.1.2 Matrices nilpotentes
Ce qu’il faut savoir
Soit A dans M n (K).
• On dit que A est nilpotente lorsqu’il existe p dans N
∗ tel que A
p = 0.
Exemple : Les matrices triangulaires strictement supérieures, ou strictement inférieures, sont nilpotentes.
Indice de nilpotence : on appelle indice de nilpotence de A le plus petit entier p
dans N tel que A
p = 0.
• Soit A un matrice nilpotente de M n (K), son indice de nilpotence est inférieur
ou égal à n. Voir exercice 3.18 page 67 pour la démonstration de ce résultat.
Exercice 4.4
Soit A =
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
0 0 0
⎞
⎠ .
1) Montrer que A est nilpotente d’indice 3.
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