◦ on met en évidence un polynôme P de degré le plus petit possible tel que
P( A) = 0. Soit R p le reste de la division euclidienne de X
p par P, alors
A
p = R p (A) ;
◦ on diagonalise A si c’est possible (voir chapitre « Réduction »).
Exercice 4.1
Soit n dans N, et soit A la matrice de M n (K) dont tous les coefficients sont égaux
à 1. Déterminer A
k pour k ∈ N.
On constate sans peine que A
2 = n A, puis que A
3 = n
2 A. On va donc montrer par
récurrence que pour tout k dans N
∗ , on a A
k = n
k−1 A.
La formule a été vérifiée au rang 1.
Soit k dans N, tel que A
k = n
k A.
On a alors A
k+1 = A A
k = n
k−1 A
2 = n
k−1 n A = n
k A, ce qui montre que la propriété
est héréditaire.
On a ainsi montré par récurrence que pour tout k dans N
∗ , on a A
k = n
k−1 A.
Exercice 4.2
CCP PSI 2005
Soit A =
a i, j
1i jn
dans M n (R) où a i j = 1 si i = j et a ii = 0. Calculer A
p
pour p dans N
∗ .
On a A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0 1 · · · 1
1 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 1
1 · · · 1 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
. On peut alors choisir d’écrire A sous la forme
A = B − I n où B est une matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Comme
B et I n commutent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer
A
p . D’après l’exercice précédent, pour tout k 1 : B
k = n
k−1 B, (attention : le fait
que la formule n’est pas vraie pour k = 0 a son importance). On a alors, pour tout
p 1 :
A
p =
p
k=0
p
k
B
k (−I n )
p−k = (−1)
p I n +
p
k=1
p
k
n
k−1 (−1)
p−k B
= (−1)
p I n +
1
n
p
k=1
p
k
n
k (−1)
p−k
B
= (−1)
p I n +
1
n
p
k=0
p
k
n
k (−1)
p−k
− (−1)
p
B
= (−1)
p I n +
(n − 1)
p
− (−1)
p
n
B.