• Matrices carrées symétriques et antisymétriques
◦ L’ensemble des matrices symétriques de M n (K) qu’on note S n (K) est un
sous-espace vectoriel de M n (K), de dimension égale à
1
2
n(n + 1). La famille
(E i j + E ji ) 1i jn est une base de S n (K).
◦ L’ensemble des matrices antisymétriques qu’on note A n (K) est un sousespace vectoriel de M n (K), de dimension égale à
1
2
n(n − 1). La famille
(E i j − E ji ) 1i< jn est une base de A n (K).
◦ On a M n (K) = S n (K) ⊕ A n (K). De manière explicite, toute matrice M dans
M n (K) s’écrit sous la forme M =
1
2
(M +
t M) +
1
2
(M −
t M).
Calcul dans l’anneau (M n (K), +, ×)
• L’ensemble M n (K) muni de + et × est un anneau. Il est non commutatif : pour
A et B dans M n (K) on n’a pas toujours AB = B A.
• L’anneau M n (K) n’est pas intègre : pour A et B dans M n (K), l’égalité
AB = 0 n’entraîne pas A = 0 ou B = 0.
• Algèbre K [ A] Soit A dans M n (K), on définit K [A] = {P(A) | P ∈ K[X ]}.
Muni des trois lois +, × et·, l’ensemble K [A] est une sous-algèbre de M n (K).
• Deux identités remarquables très utiles : soient A et B dans M n (K) qui
commutent, c’est-à-dire telles que AB = B A et soit N dans N.
◦ Formule du binôme de Newton : (A + B)
N =
N
k=0
N
k
A
k B
N −k .
◦ A
N
− B
N = ( A − B)
N
k=1
B
k−1 A
N −k .
En particulier on a (I n − A)
N
k=0
A
k = I n − A
N +1 .
Remarque
Pour tout A dans M n (K), on a par convention A
0 = I n .
• Quelques méthodes de calcul de A
p
Soient A dans M n (K) et p dans N. Lorsqu’on veut calculer A
p :
◦ on teste une formule vraissemblable qu’on valide ensuite par récurrence ;
◦ on décompose A en somme de deux matrices qui commutent et dont les
puissances sont faciles à calculer ;
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