4 Matrices
Ce chapitre reprend le cours de première année sur les matrices et le complète avec la
notion de trace. Tous les exercices de la partie assimilation et entraînement, hormis
ceux utilisant la trace qui peuvent être laissés de côté dans une première lecture, sont
abordables dès la première année. On peut ainsi utiliser ce chapitre dès le second
semestre de la première année et il constituera également un excellent support pour
les révisions estivales. Les exercices d’approfondissement seront très utiles lors de la
reprise de ce chapitre en deuxième année.
Dans tout ce chapitre K désigne le corps R ou C.
4.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
4.1.1 Calcul dans M n (K)
Ce qu’il faut savoir
Matrices rectangulaires M n, p (K)
• Soient n et p dans N. L’ensemble M n, p (K) est un espace vectoriel de dimension finie égale à np.
On définit pour i dans [[1, n]] et j dans [[1, p]] la matrice E i j dans M n, p (K) de
coefficient général a k défini par : a k =
1 si = i et k = j
0 sinon
.
La famille (E i j ) 1i p,1 jn est une base de M n, p (K) appelée base canonique
de M n, p (K).
• Soient A = (a i j ) une matrice dans M n, p (K) et B = (b i j ) une matrice dans
M p,q (K), la matrice C = AB est une matrice de M n,q (K) dont le coefficient
général (c i j ) 1in,1 jq est défini par
∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, q]] c i j =
p
k=1
a ik b k j .
Matrices carrées M n (K)
• Lorsque p = n, on a la règle de multiplication :
∀(i , j, k, ,) ∈ [[1, n]]
4 : E i j E k = d jk E i ,
où d est le symbole de Kronecker.
Ce chapitre reprend le cours de première année sur les matrices et le complète avec la
notion de trace. Tous les exercices de la partie assimilation et entraînement, hormis
ceux utilisant la trace qui peuvent être laissés de côté dans une première lecture, sont
abordables dès la première année. On peut ainsi utiliser ce chapitre dès le second
semestre de la première année et il constituera également un excellent support pour
les révisions estivales. Les exercices d’approfondissement seront très utiles lors de la
reprise de ce chapitre en deuxième année.
Dans tout ce chapitre K désigne le corps R ou C.
4.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
4.1.1 Calcul dans M n (K)
Ce qu’il faut savoir
Matrices rectangulaires M n, p (K)
• Soient n et p dans N. L’ensemble M n, p (K) est un espace vectoriel de dimension finie égale à np.
On définit pour i dans [[1, n]] et j dans [[1, p]] la matrice E i j dans M n, p (K) de
coefficient général a k défini par : a k =
1 si = i et k = j
0 sinon
.
La famille (E i j ) 1i p,1 jn est une base de M n, p (K) appelée base canonique
de M n, p (K).
• Soient A = (a i j ) une matrice dans M n, p (K) et B = (b i j ) une matrice dans
M p,q (K), la matrice C = AB est une matrice de M n,q (K) dont le coefficient
général (c i j ) 1in,1 jq est défini par
∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, q]] c i j =
p
k=1
a ik b k j .
Matrices carrées M n (K)
• Lorsque p = n, on a la règle de multiplication :
∀(i , j, k, ,) ∈ [[1, n]]
4 : E i j E k = d jk E i ,
où d est le symbole de Kronecker.