formule de Grassmann dim V 1 + dim V 2 = dim(V 1 + V 2 ) + dim(V 1 ∩ V 2 ).
Dans le cas qui nous intéresse, on se donne k sous-espaces vectoriels V 1 , . . . , V k ,
et on considère l’application linéaire v de V 1 × · · · × V k vers E
k−1 qui au k-uplet
(x 1 , . . . , x k ) associe (x 2 − x 1 , x 3 − x 1 , . . . , x k − x 1 ). De nouveau Ker v est isomorphe
à V 1 ∩ · · · ∩ V k grâce à l’application linéaire qui à x dans V 1 ∩ · · · ∩ V k associe
(x, . . . , x). Le théorème du rang montre alors que
dimV 1 + · · · + dimV k = dim(V 1 ∩ · · · ∩ V k ) + dim Im v.
Or l’image de v est incluse dans E
k−1 et sa dimension est donc au plus égale
à n(k − 1). L’hypothése dimV 1 + · · · + dimV k > n(k − 1) entraîne ainsi que
dim(V 1 ∩ · · · ∩ V k ) > 0, ce qui signifie que l’intersection des V i n’est pas réduite
à {0}.
Dans le cas qui nous intéresse, on se donne k sous-espaces vectoriels V 1 , . . . , V k ,
et on considère l’application linéaire v de V 1 × · · · × V k vers E
k−1 qui au k-uplet
(x 1 , . . . , x k ) associe (x 2 − x 1 , x 3 − x 1 , . . . , x k − x 1 ). De nouveau Ker v est isomorphe
à V 1 ∩ · · · ∩ V k grâce à l’application linéaire qui à x dans V 1 ∩ · · · ∩ V k associe
(x, . . . , x). Le théorème du rang montre alors que
dimV 1 + · · · + dimV k = dim(V 1 ∩ · · · ∩ V k ) + dim Im v.
Or l’image de v est incluse dans E
k−1 et sa dimension est donc au plus égale
à n(k − 1). L’hypothése dimV 1 + · · · + dimV k > n(k − 1) entraîne ainsi que
dim(V 1 ∩ · · · ∩ V k ) > 0, ce qui signifie que l’intersection des V i n’est pas réduite
à {0}.