Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
En conclusion on a montré que G ∩ G 2 = {0} et G + G 2 = F. On en déduit que
G ⊕ G 2 = F et comme par construction G 2 est un sous-espace vectoriel de G 1 qui
est de dimension finie, il est lui même de dimension finie. On a donc montré que G
est de codimension finie dans F.
Montrons que F est de codimension finie dans E.
Soit G 3 un supplémentaire de G 2 dans G 1 . Un tel supplémentaire existe car G 1 est
de dimension finie.
Montrons que G 3 est un supplémentaire de F dans E.
On a les relations : E = G ⊕ G 1 , G 1 = G 2 ⊕ G 3 , F = G ⊕ G 2 .
On en déduit que : E = F ⊕ G 3 .
Comme G 3 est un sous-espace vectoriel de G 1 , il est de dimension finie. On en déduit
que F est de codimension finie dans E.
On a codim E G = dimG 1 et codim E F = dimG 3 ainsi que codim F G = dimG 2 .
De plus, par construction, on a G 1 = G 3 ⊕ G 2 , d’où dimG 1 = dimG 3 + dimG 2 .
On en déduit : codim E G = codim E F + codim F G.
Exercice 3.42
Polytechnique MP 2006 (première question) ÃÃ
Soient E un espace vectoriel de dimension n et V 1 ,. . . ,V k des sous-espaces vectoriels de E. On suppose : dimV 1 + · · · + dimV k > n(k − 1). Montrer que l’intersection des V i n’est pas réduite à {0}.
Le résultat est immédiat pour k = 1. Pour k = 2, puisque dim(V 1 + V 2 ) n La
formule de Grassmann montre que si V 1 et V 2 sont tels que dim V 1 + dim V 2 > n,
alors, on a dim(V 1 ∩ V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 − dim(V 1 + V 2 ) > 0.
On en déduit que l’intersection V 1 ∩ V 2 n’est pas réduite à {0}.
Ces premiers résultats peuvent inciter à faire un raisonnement par récurrence. On a
en fait plutôt intérêt à procéder en adaptant la démonstration suivante de la formule
de Grassmann.
Soient V 1 et V 2 deux sous-espaces vectoriels de E. Soit u, l’application linéaire de
V 1 × V 2 dans E, qui au couple (x, y) associe u(x, y) = x − y. On va appliquer le
théorème du rang à u. L’image de u est donnée par Im u = V 1 + V 2 . Si le couple
(x, y) dans V 1 × V 2 est tel que x + y = 0, on a y = −x et par conséquent x est dans
V 1 ∩ V 2 .
Réciproquement, soit un couple (x, y) dans V 1 ×V 2 tel que x est dans V 1 ∩V 2 et y = x.
Alors (x, y) appartient à Ker u. On montre alors sans difficulté que l’application de
V 1 ∩ V 2 dans Ker u qui à x associe (x, x) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
On en déduit que dim Ker u = dim(V 1 ∩ V 2 ). Par ailleurs l’espace vectoriel V 1 × V 2
est de dimension dim V 1 +dim V 2 . En reportant les différentes relations obtenues dans
le théorème du rang qui dit que dim V 1 × V 2 = dim Im u + dim Ker u, on obtient la
En conclusion on a montré que G ∩ G 2 = {0} et G + G 2 = F. On en déduit que
G ⊕ G 2 = F et comme par construction G 2 est un sous-espace vectoriel de G 1 qui
est de dimension finie, il est lui même de dimension finie. On a donc montré que G
est de codimension finie dans F.
Montrons que F est de codimension finie dans E.
Soit G 3 un supplémentaire de G 2 dans G 1 . Un tel supplémentaire existe car G 1 est
de dimension finie.
Montrons que G 3 est un supplémentaire de F dans E.
On a les relations : E = G ⊕ G 1 , G 1 = G 2 ⊕ G 3 , F = G ⊕ G 2 .
On en déduit que : E = F ⊕ G 3 .
Comme G 3 est un sous-espace vectoriel de G 1 , il est de dimension finie. On en déduit
que F est de codimension finie dans E.
On a codim E G = dimG 1 et codim E F = dimG 3 ainsi que codim F G = dimG 2 .
De plus, par construction, on a G 1 = G 3 ⊕ G 2 , d’où dimG 1 = dimG 3 + dimG 2 .
On en déduit : codim E G = codim E F + codim F G.
Exercice 3.42
Polytechnique MP 2006 (première question) ÃÃ
Soient E un espace vectoriel de dimension n et V 1 ,. . . ,V k des sous-espaces vectoriels de E. On suppose : dimV 1 + · · · + dimV k > n(k − 1). Montrer que l’intersection des V i n’est pas réduite à {0}.
Le résultat est immédiat pour k = 1. Pour k = 2, puisque dim(V 1 + V 2 ) n La
formule de Grassmann montre que si V 1 et V 2 sont tels que dim V 1 + dim V 2 > n,
alors, on a dim(V 1 ∩ V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 − dim(V 1 + V 2 ) > 0.
On en déduit que l’intersection V 1 ∩ V 2 n’est pas réduite à {0}.
Ces premiers résultats peuvent inciter à faire un raisonnement par récurrence. On a
en fait plutôt intérêt à procéder en adaptant la démonstration suivante de la formule
de Grassmann.
Soient V 1 et V 2 deux sous-espaces vectoriels de E. Soit u, l’application linéaire de
V 1 × V 2 dans E, qui au couple (x, y) associe u(x, y) = x − y. On va appliquer le
théorème du rang à u. L’image de u est donnée par Im u = V 1 + V 2 . Si le couple
(x, y) dans V 1 × V 2 est tel que x + y = 0, on a y = −x et par conséquent x est dans
V 1 ∩ V 2 .
Réciproquement, soit un couple (x, y) dans V 1 ×V 2 tel que x est dans V 1 ∩V 2 et y = x.
Alors (x, y) appartient à Ker u. On montre alors sans difficulté que l’application de
V 1 ∩ V 2 dans Ker u qui à x associe (x, x) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
On en déduit que dim Ker u = dim(V 1 ∩ V 2 ). Par ailleurs l’espace vectoriel V 1 × V 2
est de dimension dim V 1 +dim V 2 . En reportant les différentes relations obtenues dans
le théorème du rang qui dit que dim V 1 × V 2 = dim Im u + dim Ker u, on obtient la