On a donc (g − a)x + (g − b)y = 0, et comme la famille (x, y) est libre on en
déduit g = a = b. Ainsi dans tous les cas f (y) = ay et on a montré que f est
une homothétie.
Remarque
Pour cette question on n’a pas utilisé le fait que E est de dimension finie.
2) Le commutant de L(E) contient les homothéties.
Soit f dans le commutant de L(E), montrons que f est une homothétie.
Soit x dans E \ {0}. Comme E est de dimension finie la droite vectorielle
Vect(x) admet un supplémentaire H dans E. Soit alors p la projection sur
Vect(x) parallèlement à H . On a Im(p) = Vect(x) et p(x) = x. On a alors
f ( p(x)) = f (x) = p( f (x)) ∈ Vect(x) et ainsi la famille (x, f (x)) est liée. On
a donc montré que pour tout x dans E la famille (x, f (x)) est liée, le résultat
précédent nous permet donc de dire que f est une homothétie.
3) Le commutant de GL(E) contient les homothéties de rapport non nul.
Soit f dans le commutant de GL(E), montrons que f est une homothétie.
Soit x dans E \ {0}, comme E est de dimension finie la droite vectorielle Vect(x)
admet un supplémentaire H dans E. Soit alors s la symétrie par rapport à H
et parallèlement à Vect(x). Pour une symétrie s, on sait que E = E 1 ⊕ E −1
où E 1 = {x ∈ E | s(x) = x} et E −1 = {x ∈ E | s(x) = −x} et dans
le cas présent on a par construction E 1 = H et E −1 = Vect(x). De l’égalité
s( f (x)) = f (s(x)) = − f (x), on déduit f (x) ∈ E −1 donc f (x) ∈ Vect(x), ce qui
montre que (x, f (x)) est liée. On conclut comme précédemment.
Exercice 3.41
Mines-Ponts MP 2005 Ã
Soit E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un sousespace vectoriel de F. On suppose que G est de codimension finie dans E. Montrer que codim E G = codim E F + codim F G.
Il faut commencer par montrer que si G est de codimension finie dans E, alors G est
de codimension finie dans F.
Par hypothèse il existe G 1 sous-espace vectoriel de dimension finie de E tel que
E = G ⊕ G 1 . Soit alors G 2 = F ∩ G 1 . On va montrer que G 2 est un supplémentaire
de G dans F.
On a : G ∩ G 2 = G ∩ G 1 ∩ F = {0} car G ∩ G 1 = {0}.
D’autre part, soit z dans F. Il existe (x, x 1 ) dans G × G 1 tel que z = x + x 1 . Le
vecteur x 1 est par définition dans G 1 , mais comme x 1 = z − x il est aussi dans F car
z est dans F et x est dans G ⊂ F. Ainsi x 1 est dans G 1 ∩ F, ce qui montre qu’on a
écrit z comme somme d’un élément x de G et d’un élément x 1 de G 2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
déduit g = a = b. Ainsi dans tous les cas f (y) = ay et on a montré que f est
une homothétie.
Remarque
Pour cette question on n’a pas utilisé le fait que E est de dimension finie.
2) Le commutant de L(E) contient les homothéties.
Soit f dans le commutant de L(E), montrons que f est une homothétie.
Soit x dans E \ {0}. Comme E est de dimension finie la droite vectorielle
Vect(x) admet un supplémentaire H dans E. Soit alors p la projection sur
Vect(x) parallèlement à H . On a Im(p) = Vect(x) et p(x) = x. On a alors
f ( p(x)) = f (x) = p( f (x)) ∈ Vect(x) et ainsi la famille (x, f (x)) est liée. On
a donc montré que pour tout x dans E la famille (x, f (x)) est liée, le résultat
précédent nous permet donc de dire que f est une homothétie.
3) Le commutant de GL(E) contient les homothéties de rapport non nul.
Soit f dans le commutant de GL(E), montrons que f est une homothétie.
Soit x dans E \ {0}, comme E est de dimension finie la droite vectorielle Vect(x)
admet un supplémentaire H dans E. Soit alors s la symétrie par rapport à H
et parallèlement à Vect(x). Pour une symétrie s, on sait que E = E 1 ⊕ E −1
où E 1 = {x ∈ E | s(x) = x} et E −1 = {x ∈ E | s(x) = −x} et dans
le cas présent on a par construction E 1 = H et E −1 = Vect(x). De l’égalité
s( f (x)) = f (s(x)) = − f (x), on déduit f (x) ∈ E −1 donc f (x) ∈ Vect(x), ce qui
montre que (x, f (x)) est liée. On conclut comme précédemment.
Exercice 3.41
Mines-Ponts MP 2005 Ã
Soit E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et G un sousespace vectoriel de F. On suppose que G est de codimension finie dans E. Montrer que codim E G = codim E F + codim F G.
Il faut commencer par montrer que si G est de codimension finie dans E, alors G est
de codimension finie dans F.
Par hypothèse il existe G 1 sous-espace vectoriel de dimension finie de E tel que
E = G ⊕ G 1 . Soit alors G 2 = F ∩ G 1 . On va montrer que G 2 est un supplémentaire
de G dans F.
On a : G ∩ G 2 = G ∩ G 1 ∩ F = {0} car G ∩ G 1 = {0}.
D’autre part, soit z dans F. Il existe (x, x 1 ) dans G × G 1 tel que z = x + x 1 . Le
vecteur x 1 est par définition dans G 1 , mais comme x 1 = z − x il est aussi dans F car
z est dans F et x est dans G ⊂ F. Ainsi x 1 est dans G 1 ∩ F, ce qui montre qu’on a
écrit z comme somme d’un élément x de G et d’un élément x 1 de G 2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit