Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
Ces conditions sont équivalentes à : pour tout j dans [[1, n]] différent de i, le réel
a j est racine double de Q i , tandis que a i est racine de Q
i et Q i (a i ) = 1. On en
déduit qu’il existe b i et c i tels que Q i s’écrit sous la forme Q i = (b i X + c i )T
2
i (X ).
Les conditions sur Q
i (a i ) et Q i (a i ) permettent de déterminer b i et c i . Pour rendre
les calculs un peu plus agréables, il est naturel d’écrire qu’il existe b i et g i
tels que b i X + c i = b i (X − a i ) + g i . Le polynôme Q i s’écrit alors sous la
forme Q i (X ) = b i (X − a i )T
2
i (X ) + g i T
2
i (X ) =
b i
a i
P i (X ) + g i T
2
i (X ). On a alors
Q
i =
b i
a i
P
i + g i 2T i T
i . Les conditions Q i (a i ) = 1 et Q
i (a i ) = 0 deviennent alors :
⎧
⎨
⎩
g i T
2
i (a i ) = 1
b i
a i
+ 2g i T i (a i )T
i (a i ) = 0
Ce système se résout et donne g i =
1
T 2
i (a i )
, b i = −2
T
i (a i )
T
3
i (a i )
.
On en déduit Q i (X ) =
1
T
3
i (a i )
T i (X )
T i (a i )T i (X ) − 2T
i (a i )T (X )
.
La base anté-duale de (w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ) est (P 1 , . . . , P n , Q 1 , . . . , Q n ).
Exercice 3.40
Centrale PC 2006
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
1) Déterminer les f de L(E) tels que (x, f (x)) soit liée pour tout x de E
2) Déterminer le commutant de L(E).
3) Déterminer le commutant de GL(E).
1) On va montrer que les éléments de L(E) qui vérifient cette condition sont les
homothéties.
Si E est réduit au vecteur nul, l’espace L(E) est réduit à l’application nulle qui
est une homothétie. On se place désormais dans le cas où E n’est pas réduit au
vecteur nul.
Soit x dans E\ {0}. La famille (x, f (x)) est liée avec x = 0, il existe donc a
dans K tel que f (x) = ax. Soit y dans E. Ou bien y est lié avec x, ou bien la
famille (x, y) est libre. Dans le premier cas il existe a dans K tel que y = ax
et on en déduit immédiatement, f (y) = a f (x) = aax = ay. Dans le second
cas, y et x + y sont non nuls et il existe (b, g) dans K
2 tel que f (y) = by et
f (x + y) = g(x + y). Comme f est linéaire on a f (x + y) = f (x) + f (y) et on en
déduit : g(x + y) = ax + by.
Ces conditions sont équivalentes à : pour tout j dans [[1, n]] différent de i, le réel
a j est racine double de Q i , tandis que a i est racine de Q
i et Q i (a i ) = 1. On en
déduit qu’il existe b i et c i tels que Q i s’écrit sous la forme Q i = (b i X + c i )T
2
i (X ).
Les conditions sur Q
i (a i ) et Q i (a i ) permettent de déterminer b i et c i . Pour rendre
les calculs un peu plus agréables, il est naturel d’écrire qu’il existe b i et g i
tels que b i X + c i = b i (X − a i ) + g i . Le polynôme Q i s’écrit alors sous la
forme Q i (X ) = b i (X − a i )T
2
i (X ) + g i T
2
i (X ) =
b i
a i
P i (X ) + g i T
2
i (X ). On a alors
Q
i =
b i
a i
P
i + g i 2T i T
i . Les conditions Q i (a i ) = 1 et Q
i (a i ) = 0 deviennent alors :
⎧
⎨
⎩
g i T
2
i (a i ) = 1
b i
a i
+ 2g i T i (a i )T
i (a i ) = 0
Ce système se résout et donne g i =
1
T 2
i (a i )
, b i = −2
T
i (a i )
T
3
i (a i )
.
On en déduit Q i (X ) =
1
T
3
i (a i )
T i (X )
T i (a i )T i (X ) − 2T
i (a i )T (X )
.
La base anté-duale de (w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ) est (P 1 , . . . , P n , Q 1 , . . . , Q n ).
Exercice 3.40
Centrale PC 2006
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.
1) Déterminer les f de L(E) tels que (x, f (x)) soit liée pour tout x de E
2) Déterminer le commutant de L(E).
3) Déterminer le commutant de GL(E).
1) On va montrer que les éléments de L(E) qui vérifient cette condition sont les
homothéties.
Si E est réduit au vecteur nul, l’espace L(E) est réduit à l’application nulle qui
est une homothétie. On se place désormais dans le cas où E n’est pas réduit au
vecteur nul.
Soit x dans E\ {0}. La famille (x, f (x)) est liée avec x = 0, il existe donc a
dans K tel que f (x) = ax. Soit y dans E. Ou bien y est lié avec x, ou bien la
famille (x, y) est libre. Dans le premier cas il existe a dans K tel que y = ax
et on en déduit immédiatement, f (y) = a f (x) = aax = ay. Dans le second
cas, y et x + y sont non nuls et il existe (b, g) dans K
2 tel que f (y) = by et
f (x + y) = g(x + y). Comme f est linéaire on a f (x + y) = f (x) + f (y) et on en
déduit : g(x + y) = ax + by.