Exercice 3.39
Centrale MP 2006, 2007
Soit E = R 2n−1 [X ], et a 1 , . . . , a n des réels distincts. Pour tout i dans [[1, n]],
on pose T =
n
k=1
(X − a k ) et T i = T /(X − a i ). Pour tout P dans E on définit
w i (P) = P(a i ) et c i (P) = P
(a i ). Montrer que (w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ) est une
base de E
∗ et exprimer à l’aide de T et des T i sa base anté-duale.
Soit f l’application linéaire de E dans R
2n qui à tout polynôme P ∈ E associe
(P(a 1 ), . . . , P(a n ), P
(a 1 ), . . . , P
(a n )).
Montrons que F est injective. Soit P un polynôme tel que F(P) = 0. Pour tout i
dans [[1, n]], le réel a i est alors racine double de P. Comme les réels a i sont distincts
on en déduit que le polynôme T
2 divise P. Or par hypothèse P est de degré 2n − 1,
tandis que T
2 est de degré 2n. On en déduit que P = 0. On a montré que F est
injective. Or E et R
2n ont même dimension. On en déduit que F est un isomorphisme.
On peut alors utiliser le critère de l’exercice 3.32 pour en déduire que la famille
(w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ) est libre. Comme de plus elle est de cardinal 2n, dans un
espace de dimension 2n, c’est bien une base de E
∗ .
Déterminons la base anté-duale de (w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ).
Soit i dans [[1, n]]. Commençons par chercher un polynôme P i tel que
∀ j ∈ [[1, n]]
⎧
⎨
⎩
w j (P i ) = 0
j = i ⇒ c j (P i ) = 0
c i (P i ) = 1
.
Ces conditions sont équivalentes à : pour tout j dans [[1, n]] différent de i, le réel
a j est racine double de P i , tandis que a i est racine simple de P i et P
i (a i ) = 1. Il
existe donc un réel a i tel que le polynôme P i soit de la forme a i T i T . La condition
P
i (a i ) = 1 va nous permettre de déterminer a i . On a :
P i (X ) = a i T i (X )T (X ) = a i (X − a i )T
2
i (X ),
d’où P
i (X ) = a i
(X − a i )2T i (X )T
i (X ) + T
2
i (X )
.
On en déduit P
i (a i ) = a i T
2
i (a i ). Comme T
2
i (a i ) est non nul, on a donc a i =
1
T 2
i (a i )
.
On en déduit : P i (X ) =
1
T i (a i )
T i (X )T (X ).
Soit i dans [[1, n]]. Cherchons un polynôme Q i tel que
∀ j ∈ [[1, n]]
⎧
⎨
⎩
c j (Q i ) = 0
j = i ⇒ w j (Q i ) = 0
w i (Q i ) = 1
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Centrale MP 2006, 2007
Soit E = R 2n−1 [X ], et a 1 , . . . , a n des réels distincts. Pour tout i dans [[1, n]],
on pose T =
n
k=1
(X − a k ) et T i = T /(X − a i ). Pour tout P dans E on définit
w i (P) = P(a i ) et c i (P) = P
(a i ). Montrer que (w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ) est une
base de E
∗ et exprimer à l’aide de T et des T i sa base anté-duale.
Soit f l’application linéaire de E dans R
2n qui à tout polynôme P ∈ E associe
(P(a 1 ), . . . , P(a n ), P
(a 1 ), . . . , P
(a n )).
Montrons que F est injective. Soit P un polynôme tel que F(P) = 0. Pour tout i
dans [[1, n]], le réel a i est alors racine double de P. Comme les réels a i sont distincts
on en déduit que le polynôme T
2 divise P. Or par hypothèse P est de degré 2n − 1,
tandis que T
2 est de degré 2n. On en déduit que P = 0. On a montré que F est
injective. Or E et R
2n ont même dimension. On en déduit que F est un isomorphisme.
On peut alors utiliser le critère de l’exercice 3.32 pour en déduire que la famille
(w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ) est libre. Comme de plus elle est de cardinal 2n, dans un
espace de dimension 2n, c’est bien une base de E
∗ .
Déterminons la base anté-duale de (w 1 , . . . , w n , c 1 , . . . , c n ).
Soit i dans [[1, n]]. Commençons par chercher un polynôme P i tel que
∀ j ∈ [[1, n]]
⎧
⎨
⎩
w j (P i ) = 0
j = i ⇒ c j (P i ) = 0
c i (P i ) = 1
.
Ces conditions sont équivalentes à : pour tout j dans [[1, n]] différent de i, le réel
a j est racine double de P i , tandis que a i est racine simple de P i et P
i (a i ) = 1. Il
existe donc un réel a i tel que le polynôme P i soit de la forme a i T i T . La condition
P
i (a i ) = 1 va nous permettre de déterminer a i . On a :
P i (X ) = a i T i (X )T (X ) = a i (X − a i )T
2
i (X ),
d’où P
i (X ) = a i
(X − a i )2T i (X )T
i (X ) + T
2
i (X )
.
On en déduit P
i (a i ) = a i T
2
i (a i ). Comme T
2
i (a i ) est non nul, on a donc a i =
1
T 2
i (a i )
.
On en déduit : P i (X ) =
1
T i (a i )
T i (X )T (X ).
Soit i dans [[1, n]]. Cherchons un polynôme Q i tel que
∀ j ∈ [[1, n]]
⎧
⎨
⎩
c j (Q i ) = 0
j = i ⇒ w j (Q i ) = 0
w i (Q i ) = 1
.
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