Exercice 3.38
Centrale MP 2006
Soit E un espace vectoriel de dimension finie égale à n.
1) Soient x et y dans E non colinéaires. Déterminer le plus grand entier k pour
lequel il existe des formes linéaires indépendantes f 1 , . . . , f k telles que pour
tout i dans [[1, k]], f i (x) = f i (y).
2) Soient f 1 , . . . , f k des formes linéaires sur E. Montrer l’équivalence
( f 1 , . . . , f k ) libre ⇔ dim
k
i=1
Ker( f i ) = n − k.
1) La question posée revient à trouver la plus grande famille libre ( f 1 , . . . , f k ) telle
que pour tout i dans [[1, k]], f i (x − y) = 0.
Il est naturel d’essayer de trouver un sous-espace vectoriel qui contient toutes les
formes linéaires f de E
∗ telles que f (x − y) = 0 et de déterminer sa dimension.
Les vecteurs x et y non colinéaires étant fixés, soit f, l’application de E
∗ dans R
définie par f( f ) = f (x − y). L’application f ainsi définie est une forme linéaire
sur E
∗ . De plus f (x) = f (y) si et seulement si f ∈ Ker f.
Comme x et y ne sont pas colinéaires, le vecteur x − y n’est pas nul. Il existe donc
f dans E
∗ telle que f (x − y) = 0 et on en déduit que f n’est pas nulle. Comme
f est une forme linéaire non nulle sur E, son noyau est un hyperplan de E
∗ et
sa dimension est donc n − 1. Il existe donc au maximum n − 1 formes linéaires
indépendantes ( f 1 , . . . , f n−1 ) vérifiant : ∀i ∈ [[1, n − 1]] , f i (x) = f i (y).
2) On va construire une application linéaire adaptée au problème posé.
Soit c l’application linéaire de E dans R
k qui à x ∈ E associe ( f 1 (x), . . . , f k (x)).
On a les équivalences suivantes :
x ∈
k
i=1
Ker( f i ) ⇔ ∀i ∈ [[1, n]] , f i (x) = 0 ⇔ c(x) = 0 ⇔ x ∈ Ker c.
Le théorème du rang appliqué à c donne : dim Ker c + dim Im c = dimE = n.
On en déduit alors :
dim
k
i=1
Ker( f i ) = n − k ⇔ dim Im c = k ⇔ c surjective.
On est alors ramené à la situation de l’exercice 3.32 puisque c surjective équivaut
à ∀(l 1 , . . . , l k ) ∈ R
k , ∃x ∈ E tel que ∀i ∈ {1, . . . , k} , f i (x) = l i .
On en déduit que ( f 1 , . . . , f k ) est libre si et seulement si dim
k
i=1
Ker( f i ) = n − k.
Centrale MP 2006
Soit E un espace vectoriel de dimension finie égale à n.
1) Soient x et y dans E non colinéaires. Déterminer le plus grand entier k pour
lequel il existe des formes linéaires indépendantes f 1 , . . . , f k telles que pour
tout i dans [[1, k]], f i (x) = f i (y).
2) Soient f 1 , . . . , f k des formes linéaires sur E. Montrer l’équivalence
( f 1 , . . . , f k ) libre ⇔ dim
k
i=1
Ker( f i ) = n − k.
1) La question posée revient à trouver la plus grande famille libre ( f 1 , . . . , f k ) telle
que pour tout i dans [[1, k]], f i (x − y) = 0.
Il est naturel d’essayer de trouver un sous-espace vectoriel qui contient toutes les
formes linéaires f de E
∗ telles que f (x − y) = 0 et de déterminer sa dimension.
Les vecteurs x et y non colinéaires étant fixés, soit f, l’application de E
∗ dans R
définie par f( f ) = f (x − y). L’application f ainsi définie est une forme linéaire
sur E
∗ . De plus f (x) = f (y) si et seulement si f ∈ Ker f.
Comme x et y ne sont pas colinéaires, le vecteur x − y n’est pas nul. Il existe donc
f dans E
∗ telle que f (x − y) = 0 et on en déduit que f n’est pas nulle. Comme
f est une forme linéaire non nulle sur E, son noyau est un hyperplan de E
∗ et
sa dimension est donc n − 1. Il existe donc au maximum n − 1 formes linéaires
indépendantes ( f 1 , . . . , f n−1 ) vérifiant : ∀i ∈ [[1, n − 1]] , f i (x) = f i (y).
2) On va construire une application linéaire adaptée au problème posé.
Soit c l’application linéaire de E dans R
k qui à x ∈ E associe ( f 1 (x), . . . , f k (x)).
On a les équivalences suivantes :
x ∈
k
i=1
Ker( f i ) ⇔ ∀i ∈ [[1, n]] , f i (x) = 0 ⇔ c(x) = 0 ⇔ x ∈ Ker c.
Le théorème du rang appliqué à c donne : dim Ker c + dim Im c = dimE = n.
On en déduit alors :
dim
k
i=1
Ker( f i ) = n − k ⇔ dim Im c = k ⇔ c surjective.
On est alors ramené à la situation de l’exercice 3.32 puisque c surjective équivaut
à ∀(l 1 , . . . , l k ) ∈ R
k , ∃x ∈ E tel que ∀i ∈ {1, . . . , k} , f i (x) = l i .
On en déduit que ( f 1 , . . . , f k ) est libre si et seulement si dim
k
i=1
Ker( f i ) = n − k.