vectoriel défini par H = Vect(e k+1 , . . . , e n ), ce sous-espace vectoriel est un supplémentaire de Ker u et on sait que la restriction de u à H est un isomorphisme.
Par conséquent la famille (u(e k+1 ), . . . , u(e n )) est une base de Im u.
On complète la famille ( f k+1 , . . . , f n ) en une base ( f k+1 , . . . , f q ) de F. On définit
alors w par : pour tout i dans [[k + 1, n]], w( f i ) = v(e i ) et pour tout i dans
[[n + 1, q]], w( f i ) = 0.
Montrons qu’on a bien v = w ◦ u. Soit i dans [[1, n]]. Si i k alors
u(e i ) = v(e i ) = 0 et on a bien v(e i ) = w(u(e i )). Si k + 1 i n alors
w(u(e i )) = w( f i ) = v(e i ). On a donc v et w ◦ u qui coïncident sur une base de
E, ces applications linéaires sont donc égales.
2) S’il existe w dans L(E, F) telle que u = v ◦ w, alors de manière évidente
Im u ⊂ Im v.
Supposons Im u ⊂ Im v.
Si u = 0 alors w = 0 convient. On suppose désormais u non nulle. Soit
(e 1 , . . . , e k ) est une base de Ker u complétée en une base (e 1 , . . . , e n ) de E (avec
k = 0 si u est injective).
On complète de nouveau la base (u(e k+1 ), . . . , u(e n )) = ( f k+1 , . . . , f n ) de Im u
en une base ( f k+1 , . . . , f q ) de F de sorte qu’il existe p dans [[k + 1, n]] tel que
( f k+1 , . . . , f p ) est une base de Im v.
Comme on a Im u ⊂ Im v, pour tout i dans [[k + 1, n]], il existe e
i dans E tel
que v(e
i ) = f i = u(e i ). Soit alors w dans L(E, F) définie par : pour tout i dans
[[k + 1, n]], w(e i ) = e
i et pour tout i dans [[1, k]], w(e i ) = 0. On vérifie sans peine
qu’on a alors u = v ◦ w.
3) Si u = 0, alors on peut prendre p = 0 et tout élément de L(E) convient.
Supposons donc u = 0. Soit (e 1 , . . . , e k ) est une base de Ker u complétée en
une base (e 1 , . . . , e n ) de E (avec k = 0 si u est injective). On complète la base
(u(e k+1 ), . . . , u(e n )) = ( f k+1 , . . . , f n ) de Im u en une base ( f 1 , . . . , f n ) de E.
Soit v l’application linéaire de L(E) définie par : ∀i ∈ [[1, n]] , v(e i ) = f i .
Comme l’image par v de la base (e 1 , . . . , e n ) est encore une base de E, l’application v est bijective. Soit p le projecteur sur Im u parallèlement à Vect( f 1 , . . . , f k ).
Pour tout i dans [[k + 1, n]] on a p( f i ) = f i et pour tout i dans [[1, k]] on a
p( f i ) = 0. On montre alors que p ◦ v et u coïncident sur la base (e 1 , . . . , e n ), elles
sont donc égales.
4) Si u = 0, alors on peut prendre p = 0 et tout élément de L(E) convient.
Supposons donc u = 0. Soit v l’application linéaire définie à la question précédente et soit cette fois p le projecteur sur G = Vect(e k+1 , . . . , e n ) parallèlement
à Ker u = Vect(e 1 , . . . , e k ). On vérifie que u et v ◦ p coïncident sur la base
(e 1 , . . . , e n ), elles sont donc égales.
On peut aussi procéder en traduisant le résultat de la question 3) sous forme
matricielle et appliquer ce résultat à la transposée de la matrice de u.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Par conséquent la famille (u(e k+1 ), . . . , u(e n )) est une base de Im u.
On complète la famille ( f k+1 , . . . , f n ) en une base ( f k+1 , . . . , f q ) de F. On définit
alors w par : pour tout i dans [[k + 1, n]], w( f i ) = v(e i ) et pour tout i dans
[[n + 1, q]], w( f i ) = 0.
Montrons qu’on a bien v = w ◦ u. Soit i dans [[1, n]]. Si i k alors
u(e i ) = v(e i ) = 0 et on a bien v(e i ) = w(u(e i )). Si k + 1 i n alors
w(u(e i )) = w( f i ) = v(e i ). On a donc v et w ◦ u qui coïncident sur une base de
E, ces applications linéaires sont donc égales.
2) S’il existe w dans L(E, F) telle que u = v ◦ w, alors de manière évidente
Im u ⊂ Im v.
Supposons Im u ⊂ Im v.
Si u = 0 alors w = 0 convient. On suppose désormais u non nulle. Soit
(e 1 , . . . , e k ) est une base de Ker u complétée en une base (e 1 , . . . , e n ) de E (avec
k = 0 si u est injective).
On complète de nouveau la base (u(e k+1 ), . . . , u(e n )) = ( f k+1 , . . . , f n ) de Im u
en une base ( f k+1 , . . . , f q ) de F de sorte qu’il existe p dans [[k + 1, n]] tel que
( f k+1 , . . . , f p ) est une base de Im v.
Comme on a Im u ⊂ Im v, pour tout i dans [[k + 1, n]], il existe e
i dans E tel
que v(e
i ) = f i = u(e i ). Soit alors w dans L(E, F) définie par : pour tout i dans
[[k + 1, n]], w(e i ) = e
i et pour tout i dans [[1, k]], w(e i ) = 0. On vérifie sans peine
qu’on a alors u = v ◦ w.
3) Si u = 0, alors on peut prendre p = 0 et tout élément de L(E) convient.
Supposons donc u = 0. Soit (e 1 , . . . , e k ) est une base de Ker u complétée en
une base (e 1 , . . . , e n ) de E (avec k = 0 si u est injective). On complète la base
(u(e k+1 ), . . . , u(e n )) = ( f k+1 , . . . , f n ) de Im u en une base ( f 1 , . . . , f n ) de E.
Soit v l’application linéaire de L(E) définie par : ∀i ∈ [[1, n]] , v(e i ) = f i .
Comme l’image par v de la base (e 1 , . . . , e n ) est encore une base de E, l’application v est bijective. Soit p le projecteur sur Im u parallèlement à Vect( f 1 , . . . , f k ).
Pour tout i dans [[k + 1, n]] on a p( f i ) = f i et pour tout i dans [[1, k]] on a
p( f i ) = 0. On montre alors que p ◦ v et u coïncident sur la base (e 1 , . . . , e n ), elles
sont donc égales.
4) Si u = 0, alors on peut prendre p = 0 et tout élément de L(E) convient.
Supposons donc u = 0. Soit v l’application linéaire définie à la question précédente et soit cette fois p le projecteur sur G = Vect(e k+1 , . . . , e n ) parallèlement
à Ker u = Vect(e 1 , . . . , e k ). On vérifie que u et v ◦ p coïncident sur la base
(e 1 , . . . , e n ), elles sont donc égales.
On peut aussi procéder en traduisant le résultat de la question 3) sous forme
matricielle et appliquer ce résultat à la transposée de la matrice de u.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit