2) Soit f de rang 1 et de trace 1. Soit (e 1 , . . . , e n−1 ) une base de Ker f . D’après
le théorème de la base incomplète, il existe un vecteur e n de E tel que la famille
(e 1 , . . . , e n ) est une base de E. Soit M
f la matrice de f dans cette base. La matrice
M
f est de la forme :
M
f =
f (e 1 ) . . . f (e n−1 ) f (e n )
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
0
· · ·
0
a 1
e 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
· · ·
0
a n
e n
.
Comme la trace de f est égale à 1, on a a n = 1. Un simple calcul matriciel
montre alors que grâce à la condition a n = 1, on a (M
f )
2 = M
f , ce qui montre
que f
2 = f . On a ainsi montré que f est un projecteur.
3) Les matrices E 11 , · · · , E nn et E i j + E j j avec i = j sont de rang 1 et de trace 1,
elles sont des matrices de projecteurs. En outre, elles forment une famille libre de
n
2 matrices, donc une base de M n (R).
Exercice 4.23
CCP PC 2006 Matrices de rang 1
Soit n dans N
∗ . On considère 2n nombres réels a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n
et la matrice A = (a i j ) de M n (R) telle que pour tout (i, j) dans [[1, n]]
2
a i j = a i b j .
1) Déterminer le rang de A.
2) Montrer que A
2 = (tr A) A et en déduire que si tr A = 0, il existe un projecteur
p et une homothétie h dans L(R
n ) tels que A soit la matrice de p ◦ h dans une
certaine base.
3) Soit M dans M n (R) une matrice de rang égal à 1. Montrer qu’il existe X dans
M n,1 (R)\ {0} et Y dans M 1,n (R)\ {0} tels que M = XY .
4) Déduire des résultats précédents l’ensemble des matrices de M 3 (R) telles que
A
2 = 0.
1) Pour j dans [[1, n]], notons C j la j-ème colonne de A. On a par définition de A :
C j = b j
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1
a 2
. . .
a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
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