viii
Contents
5 Gravitational (Clock) Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1 Determination of the Gravitational Field by Means of Test
Bodies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Gravitational Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Determination of the Gravitational Field by Means of Clocks .. . . . . . 106
5.4 Gravitational Clock Compass .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6 de Sitter Cosmology.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 Null Hyperplanes in Space-Times of Constant Curvature .. . . . . . . . . . . 127
6.2 Intersecting Null Hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Generalized Kerr–Schild Space-Times and Gravitational Waves . . . . 137
6.4 de Sitter Space-Time Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5 Collision of Gravitational Waves and = 0. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.6 Post Collision Physical Properties .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 Small Magnetic Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1 Magnetic Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2 Background Space-Time/External Fields . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3 Magnetic Black Hole Perturbation of Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4 Equations of Motion in First Approximation . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.5 Equations of Motion in Second Approximation . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.6 Review of Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8 Run-Away Reissner–Nordström Particle .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1 Robinson–Trautman Solutions of the Einstein–Maxwell
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.2 Accelerating Reissner–Nordström Particle .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3 Perturbations of a Reissner–Nordström Particle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4 Equations of Motion of a Reissner–Nordström Particle . . . . . . . . . . . . . . 197
8.5 Energy Radiation Rate and Run-Away Motion . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.6 Run-Away Magnetic Reissner–Nordström Particle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A Congruences of World Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1 Properties of η abcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
B Bateman Waves in the Linear Approximation .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B.1 Covariant Treatment on General Space-Time .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B.2 Ricci Identities and Bianchi Identities .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
C Gravitational (Clock) Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
C.1 Coordinates for Minkowskian Space-Time . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
C.2 Plane Gravitational Waves I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Contents
5 Gravitational (Clock) Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1 Determination of the Gravitational Field by Means of Test
Bodies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Gravitational Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Determination of the Gravitational Field by Means of Clocks .. . . . . . 106
5.4 Gravitational Clock Compass .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6 de Sitter Cosmology.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 Null Hyperplanes in Space-Times of Constant Curvature .. . . . . . . . . . . 127
6.2 Intersecting Null Hyperplanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Generalized Kerr–Schild Space-Times and Gravitational Waves . . . . 137
6.4 de Sitter Space-Time Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5 Collision of Gravitational Waves and = 0. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.6 Post Collision Physical Properties .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 Small Magnetic Black Hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1 Magnetic Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2 Background Space-Time/External Fields . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3 Magnetic Black Hole Perturbation of Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4 Equations of Motion in First Approximation . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.5 Equations of Motion in Second Approximation . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.6 Review of Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8 Run-Away Reissner–Nordström Particle .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1 Robinson–Trautman Solutions of the Einstein–Maxwell
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.2 Accelerating Reissner–Nordström Particle .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3 Perturbations of a Reissner–Nordström Particle . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4 Equations of Motion of a Reissner–Nordström Particle . . . . . . . . . . . . . . 197
8.5 Energy Radiation Rate and Run-Away Motion . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.6 Run-Away Magnetic Reissner–Nordström Particle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
A Congruences of World Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.1 Properties of η abcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
B Bateman Waves in the Linear Approximation .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B.1 Covariant Treatment on General Space-Time .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B.2 Ricci Identities and Bianchi Identities .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
C Gravitational (Clock) Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
C.1 Coordinates for Minkowskian Space-Time . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
C.2 Plane Gravitational Waves I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227