Contents
1 Congruences of World Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Time-Like Conguences.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Null Geodesic Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 The World Function and Deviation Equations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Bivector Formalism in General Relativity . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Bivectors and Electromagnetic Fields . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Electromagnetic Radiation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Bivectors and Gravitational Fields. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 The Kerr Space-Time.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Passage to Charged Kerr Space-Time . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Using the Bianchi Identities.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Hypothetical Objects in Electromagnetism and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Part I: A Light-Like Charge .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Geometry Based on a Non-geodesic Null World Line.. . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Maxwell Field of a Charge with Non-geodesic World Line .. . . . . . . . . 57
3.4 Part II: A Kerr Black Hole and Light-Like Matter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Axial Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Energy-Momentum-Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7 Two Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Bateman Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Electromagnetic Radiation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Bateman Electromagnetic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Some ‘Spherical’ Electromagnetic Waves . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Gravitational Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Bateman Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6 Some ‘Spherical’ Gravitational Waves . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
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1 Congruences of World Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Time-Like Conguences.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Null Geodesic Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 The World Function and Deviation Equations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Bivector Formalism in General Relativity . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Bivectors and Electromagnetic Fields . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Electromagnetic Radiation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Bivectors and Gravitational Fields. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 The Kerr Space-Time.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Passage to Charged Kerr Space-Time . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Using the Bianchi Identities.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Hypothetical Objects in Electromagnetism and Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Part I: A Light-Like Charge .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Geometry Based on a Non-geodesic Null World Line.. . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Maxwell Field of a Charge with Non-geodesic World Line .. . . . . . . . . 57
3.4 Part II: A Kerr Black Hole and Light-Like Matter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Axial Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Energy-Momentum-Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7 Two Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Bateman Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Electromagnetic Radiation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Bateman Electromagnetic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Some ‘Spherical’ Electromagnetic Waves . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Gravitational Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5 Bateman Gravitational Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6 Some ‘Spherical’ Gravitational Waves . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
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