134
6 de Sitter Cosmology
with λ given by (6.11). In similar fashion to (6.20) this suggests that we should
define the new complex coordinate
ζ =
1 +
6
m (z − t)
−1 1
√
2
(x + iy) + l (z − t)
,
(6.44)
so that
λ
−1
=
1 +
6
m (z − t)
p ,
(6.45)
with
p = 1 +
6
ζ ¯
ζ .
(6.46)
Now instead of using the coordinates t, x, y, z we shall use the coordinates
ζ, ¯
ζ , u, z − t with
x + iy =
√
2
1 +
6
m (z − t)
ζ −
√
2 l (z − t) ,
(6.47)
z + t = 2
¯
l ζ + l ¯
ζ + m
1 −
6
ζ ¯
ζ
1 +
6
m (z − t)
−
3
m
2
+ 2 l ¯
l
(z − t) .
(6.48)
Now the line element (6.10) reads
− ds
2
= 2 p
−2 dζ d ¯
ζ + 2 p
−2 dd du ,
(6.49)
with
dd =
1 +
6
m (z − t)
−2
1
2
κ −
6
α q
(z − t)
2 du
+q (dz − dt) − (z − t)
1 +
6
m (z − t)
(dq − ˙
q du)
,
(6.50)
where α(u) = dm(u)/du, β(u) = dl(u)/du and
κ =
3
α
2
+ 2 β ¯
β ,
(6.51)
q(ζ, ¯
ζ , u) = β ¯
ζ + ¯
β ζ + α
1 −
6
ζ ¯
ζ
,
(6.52)