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3
2
3
.
sin(h)
= hm - - - -
1i~o sin(~)
= - 3
2. Formule de Taylor-Young
1
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle l et soit a un point de l. Si f est n fois
dérivable en a, alors f admet un développement limité d'ordre n en a donné par:
f"(a)
J f(x) = f(a) + (x- a) f'(a) + - - ( x - a)
2 + ... +
(x - aY
1 + (x - aY1 s(x - a)
2
n!
où, pour tout entier ide 11, ... , n}, j\i) désigne la dérivée ëème de f .
Démonstration: On démontre ce résultat par récurrence sur l'entier n.
• La propriété est bien vraie au rang 1 : par hypothèse, la fonction f est (une fois)
dérivable en a. Elle satisfait donc la propriété caractéristique des fonctions dérivables :
f(x) = f(a) + (x - a) f'(a) + (x - a) s(x - a)
Ainsi, elle admet a un développement limité d'ordre 1 en a, qui est bien de la forme
annoncée.
• Supposons la propriété vraie à un rang n > 0; si la fonction f est n + 1 fois dérivable
en a, sa dérivée f' est donc n fois dérivable en a, on peut lui appliquer l' hypothèse de
récurrence. Elle admet donc un développement limité donné par:
/(3\a)
J f'(x) = f'(a)+(x-a) f"(a)+
(x-a)
2 + .. . +
(x-a)
11
-
1
+(x-a)n-I e(x-a)
2
(n - 1) !
(la iième dérivée de f' est la (i + l)ième dérivée de f).
Il suffit d'intégrer ce développement limité pour obtenir celui de f et la formule cherchée.
•
Une fonction peut admettre un développement limité à un ordren:;;:: 2 au voisinage d'un point,
sans être n fois dérivable en ce point. C'est le cas, par exemple, de la fonction f qui, à tout
réel x non nul, associe x
3 sin ( ~).
l. William Henry Young (1863-1942), mathématicien anglais, spécialiste de calcul diffërentiel, théorie de
la mesure, analyse spectrale, analyse complexe.
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