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on obtient:
sin x = si n(O) + x + x 2 t:(x) = x + x 2 t:(x)
En intégrant le développement limité :
- sin x = - x + x2 t:(x)
on obtient:
x2
x2
cos x = cos(O) - - + x
3 t:(x) = 1 - - + x
3 t:(x)
2
2
En continuant à intégrer successivement les développements des dérivées repectives des
fonctions sinus et cosinus, on trouve fi nalement:
X2
x4
x6
x2n
n ( - l )k X2k
cos X = 1 - - + - - - + ... + (- l t - - + x 2 n+ I t:(x) = I
+ x
211 +
1 t:(x)
2 ! 4 ! 6 !
(2n) !
k=O (2k) !
x3
x5 x 7
x2n+ 1
/1
( _ 1 / x2k+ 1
sinx = x - - + - - - + .. . +(- 1)'1
+ .x2
11 +
2 t:(x) = I
+ x 2 n+ 2 t:(x)
3 ! 5 ! 7 !
(2n + 1) !
k=O (2k + 1) !
y
graphe d
y= C S X
Figure 32.2- Le graphe d'une approximation polynomiale de la fonction cosinus au voisinage de O.
À partir de là, on trouve facilement le développement limité de la fonction sinus, par
exemple, à l'ordre 2n en un point a :
sin x = sin( a + h)
= sin a cos h + cos a sin h
(
1 - h2 + h4 -
+ (- ' 1)11 h2n + h2n+ L ""(h))
2 ! 4 ! · · ·
(2n) !
c(
h3
h211- I
)
+ cos(a) h - 3! + ... + c-1 yi1 (2n - 1) ! + h
211 t:(h)
.
(x - a) 2 .
_ 1 cos(a)
2 _ ,
srn a + (x - a) cos(a) -
2
srn(a) + .. . + (- l /
1
(
2
) (x - a)
11
!
n -1 !
sin(a)
+(-1 )'1 - - (x - a) 211 + (x - a) 211 t:(x - a )
(2n) !
2 D
,
.
1· . l
{' } d
3 JT
l
. Ç' •
cos(fJ)
. etermmons la imite, orsque u ten vers -
2
, par va eurs m1en eures, de
( ) ; on
cos fl 3
3 1T h 'h
d
,
l
. .
(
.
l .
pose e = T - , ou ten vers zero par va eurs pos1t1ves ce qui est og1que et assez
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