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>- Développement limité de la fonction exponentielle au voisinage de zéro
La fonction exponentielle est dérivable. Sa dérivée est la fonction exponentielle, qui vaut
1 en O. On en déduit :
ex = l + x + x .s(x)
En intégrant le développement limité :
ex = ex = 1 + x + X t:(x)
on trouve:
x2
ex = e
0 + x + - + x
2 s(x) = l + x + x2 + x
2 s(x)
2
qui est aussi un développement limité de la fonction dérivée x H ex. En continuant
à intégrer les développements de la fonction dérivée x H ~ ainsi obtenus, on trouve
finalement :
2
3
x'
n
k
ex = l + x + .::__ + ~ + ... + - + xn s(x) = I . : : __ + x
1 s(x)
2
3 !
n !
k=O k !
À partir de là, on obtient facilement le développement limité de la fonction exponentielle
à l'ordre n en un point a :
ea+h = ea eh
(
h
2
h
3
ll'
)
= ë 1 + h + - + -
3
+ ... + - + hn t:(h)
2
!
n!
(
(x - a)
2
(x - a)
3
(x - a)'1
)
ea 1 + (x - a) +
+
+ ... +
+ (x - a)11 .s(x - a)
2
3!
n!
y
'
'
\
graphe de la
/
\ fonction p lynomiale ,'
\
,
\
1
' ' ' ' ', ' ... ,
Figure 32.1 - Le graphe d'une approximation polynomiale de la fonction exponentielle au
voisinage de a.
>- Développement limité des fonctions sinus et cosinus au voisinage de zéro
1. La fonction sinus vaut 0 en 0 , elle est dérivable sur JR, sa dérivée est la fonction cosinus.
La fonction cosinus vaut 1 en 0, elle est dérivable, sa dérivée est la fonction - sinus.
On en déduit:
COS X = 1 + Ü X X + X ê( X) = 1 + ê( X)
En intégrant le développement limité:
COS X = 1 + X ê(X)
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