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Formule de Taylor-Young
Quoique faisant intervenir une notion globale (fonction dérivable sur un intervalle) dans
son énoncé et un résultat qui nécessite l'étude globale des fonctions (théorème des accroissements finis) dans sa démonstration, le résultat suivant est essentiel dans l'étude
locale des fonctions.
1. Intégration des développements limités
Propriété
Soient f une fo nction définie sur un intervalle I de IR, et a un point de / .
Si f est dérivable sur / , et si sa dérivée f' admet un développement limité d'ordre
n E N* au voisinage de a, de la forme :
f'(x) = co +cr (x - a)+ ... + Cn(X - a)n + (x - a)
11 s(x - a)
= co + c1 (x - a) + .. . + c,,(x - a)
11 + o ((x - a)
11
)
alors f admet un développement linùté d'ordre n + 1 au voisinage de a, dont la partie
principale d'ordre n + 1 est obtenue en primjtivant terme à terme celle du développement
limité de f', de la façon suivante :
Cr
2
c,,
+ I
+ I
f(x) = f(a) + Co (x - a) + - (x - a) + ... + --1 (x - ar + (x - a Y' . s(x - a)
tr
nt
= f(a) + co(x - a)+-(x - a)
2 + ... + -n-(x - ar+r +o(Cx - a)'
1
+
1
)
2
n+l
Démonstration : Ce résultat est admis.
:> Développement limité de la fonction logarithme népérien
au voisinage de 1
On intègre le développement limité :
1
l _ X = l + X + x
2 + ... + X
1 + X
1 s(x)
•
Une primitive de la fonct ion x H -
1
- est la fonction x H - ln( l - x), fonction qui
] - x
s'annule pour x = O. II en résulte :
i1
_x1+l
- ln(l - x) = x + - + .. . + - - . + ~+ r s(x)
2
n +l
Cette formule est vraie pour tout ordre n. On préfère écrire un développement limité
d'ordre n :
x 2
_xi
1
.
11
~
Jn(l - x) = - x - - - ... - - + x s(x) = - I - + ~ s(x)
2
n
k=I k
En changeant x en - x, on obtient :
x 2
x'
Il
( - 1i + 1 ~
ln(l + x) = x - - + . .. + (- 1 yi+I - + xn s(x) = I
+ x
11 s(x)
2
n
k=r
k
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