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Démonstration : Ce théorème est admis.
•
Le théorème précédent signifie que, si on trouve, par exemple par deux calculs différents,
deux développements limités pour la même fonction, ceux-ci sont égaux. Nous pourrons donc
parler« du» développement limité à l'ordre n de la fonction f au voisinage de a.
Exemple
La fonctio n x H ~ est définie sur l'intervalle JO, oo[. Nous voulons en trouver le développex
ment limité en un point a > O. La première étape consiste à établir un développement limité
de la fonction x H -
1 - en O.
1- x
On remarque que, pour tout réel x :f:. 1 :
1
2
X
- - = 1 +X+ X + . .. + Xn + X
1
- -
1 - x
1 - x
grâce à la formule classique donnant la somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1, et de raison x ::/:. 1 :
l - Jl!r+ I
l+x +x
2
+ ... +x' = - - -
1 - X
En posant e(x) = _ x_, on obtient alors le développement limité à l'ordre n, au vois inage de
1 - x
.
1
0, de la fonction x H -
1
- .
-x
Passons à la deuxième étape. Une méthode générale pour obtenir le développement limité
d ' une fonction au voisinage d' un point a est de se ramener à un développement limité au
voisinage de 0 en posant
x=a+h
où h tend vers 0 (en pratique, les développements li mités «classiques» sont tous des développements limités au voisinage de 0).
Grâce au développement limité obtenu plus haut, on obtient :
=
X
=
=
a+h
1
- x - - -
a
1
_ _ - h
1
1 a( (- h) (- h)
2
(-h)" (-h)
11
(-h))
; l+ -;; +-;; + ... + -;; + -;; ê -;;
1
l
1
2
Il
1
11
11
--- (x - a)+ - (x - a) + . . . +(- !) - (x - a) +(x - a) e(x - a)
a a 2
a 3
a
1
1+ 1
83