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>a.
0
u
2. Partie principale d'ordre n E N d'un développement limité
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de JR, admettant un développement limité
d'ordre n au voisinage de a E J, de L a forme:
f(x) = co + c1 (x - a) + ... + c,/x - a)
11 + (x - a)1' t:(x - a)
On appelle partie principale d'ordre n du développement limité de f le polynôme :
~ 1.
u
co + ci(x - a)+ ... + c 11 (x - a.)11
Cette définition respecte la convention introduite dans le paragraphe précédent, où l'on a
choisi , de façon générique, de désigner pars toute fonction de limite nulle en O.
2. Quand x s'approche de a, c'est-à-dire lorsque x - a devient très petit, chacun des termes du
développement limité devient négligeable devant le terme qui le précède. Plus précisément,
le terme c 1 (x - a) devient petit devant c 0 , qui est une constante; de même, c 2 (x - a)
2 devient
lui aussi très petit, et négligeable devant (x - a), ... , c,,(x - a)" devient très très, très petit,
c' est-à-dfre négligeable devant (x - a )
11 -
1
, et, finalement, (x - a)" s(x - a) devient encore plus
petit, c'est-à-dire négligeable devant (x - a)".
3. Même si Je développement limité donne apparemment la valeur de la fonction en tout point
de l'intervalle / , il ne fau t pas oublier que l'on ne connaît aucune propriété de la fonction E: en
dehors de sa limite en O. Autrement dit, à partir du développement limité, on ne peut espérer
obtenir aucune information sur Je comportement de la fonction f ailleurs qu'au point a. C'est
uniquement lorsque l'on recherche la limite en a d'une expression faisant intervenir la fonction f qu'il peut être avantageux de remplacer la fonction f par son développement limité
en a.
4. La partie principale d'ordre n, P(x) = co + c 1 (x - a) + . . . + c 11 (x - a)'', du développement
limité est un polynôme de degré n, écrit de manière tout à fait adaptée pour étudier ce qui
se passe lorsque x tend vers a. li serait particulièrement maladroit de le développer suivant
les puissances de x car on perdrait ainsi toute l'information contenue dans les coefficients c;,
i = 0, ... , n. Par exemple, Je coefficient c 0 donne la valeur du polynôme P au point a, le
coefficient c 1 donne la dérivée de Pen a, etc.
5. Le reste (x - a)" &(x - a) du développement limité est indispensable: en l'oubliant, on affirme
que la fonction f est un polynôme de degré au plus n. ce qui n'est pas vrai en général. Il
faut le considérer comme un indicateur de l'ordre du développement limité, c'est-à-dire de la
précision avec laquelle on veut connaître la fonction f au voisinage du point a. De plus, quand
on effectue des opérations sur les développements limités, c'est en suivant les transformations
successives de ce terme que l'on connaît l'ordre du développement limité obtenu à la fin. Cet
ordre peut être en effet difficile à prévoir avant de faire les calculs explicites.
3. Unicité du développement limité
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle !, et a un point de !. Si f admet un
développement limité d'ordre n E N* au voisinage de a, alors ce développement est
unique.
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2. Partie principale d'ordre n E N d'un développement limité
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de JR, admettant un développement limité
d'ordre n au voisinage de a E J, de L a forme:
f(x) = co + c1 (x - a) + ... + c,/x - a)
11 + (x - a)1' t:(x - a)
On appelle partie principale d'ordre n du développement limité de f le polynôme :
~ 1.
u
co + ci(x - a)+ ... + c 11 (x - a.)11
Cette définition respecte la convention introduite dans le paragraphe précédent, où l'on a
choisi , de façon générique, de désigner pars toute fonction de limite nulle en O.
2. Quand x s'approche de a, c'est-à-dire lorsque x - a devient très petit, chacun des termes du
développement limité devient négligeable devant le terme qui le précède. Plus précisément,
le terme c 1 (x - a) devient petit devant c 0 , qui est une constante; de même, c 2 (x - a)
2 devient
lui aussi très petit, et négligeable devant (x - a), ... , c,,(x - a)" devient très très, très petit,
c' est-à-dfre négligeable devant (x - a )
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, et, finalement, (x - a)" s(x - a) devient encore plus
petit, c'est-à-dire négligeable devant (x - a)".
3. Même si Je développement limité donne apparemment la valeur de la fonction en tout point
de l'intervalle / , il ne fau t pas oublier que l'on ne connaît aucune propriété de la fonction E: en
dehors de sa limite en O. Autrement dit, à partir du développement limité, on ne peut espérer
obtenir aucune information sur Je comportement de la fonction f ailleurs qu'au point a. C'est
uniquement lorsque l'on recherche la limite en a d'une expression faisant intervenir la fonction f qu'il peut être avantageux de remplacer la fonction f par son développement limité
en a.
4. La partie principale d'ordre n, P(x) = co + c 1 (x - a) + . . . + c 11 (x - a)'', du développement
limité est un polynôme de degré n, écrit de manière tout à fait adaptée pour étudier ce qui
se passe lorsque x tend vers a. li serait particulièrement maladroit de le développer suivant
les puissances de x car on perdrait ainsi toute l'information contenue dans les coefficients c;,
i = 0, ... , n. Par exemple, Je coefficient c 0 donne la valeur du polynôme P au point a, le
coefficient c 1 donne la dérivée de Pen a, etc.
5. Le reste (x - a)" &(x - a) du développement limité est indispensable: en l'oubliant, on affirme
que la fonction f est un polynôme de degré au plus n. ce qui n'est pas vrai en général. Il
faut le considérer comme un indicateur de l'ordre du développement limité, c'est-à-dire de la
précision avec laquelle on veut connaître la fonction f au voisinage du point a. De plus, quand
on effectue des opérations sur les développements limités, c'est en suivant les transformations
successives de ce terme que l'on connaît l'ordre du développement limité obtenu à la fin. Cet
ordre peut être en effet difficile à prévoir avant de faire les calculs explicites.
3. Unicité du développement limité
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle !, et a un point de !. Si f admet un
développement limité d'ordre n E N* au voisinage de a, alors ce développement est
unique.
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