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Développements limités
On introduit ici un nouvel outil permettant l'étude locale des fonctions : les développements limités, qui permettent notamment de déterminer la limite en un point d'une
fonction donnée sous une forme indéterminée (par exemple, le quotient de deux fonctions ayant toutes les deux une limite nulle). Les développements limités sont aussi d'une
grande utilité pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point, trouver l'équation
de la tangente à son graphe en ce point, et préciser la position relative du graphe et de sa
tangente.
1. Développement limité au voisinage d'un point
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle l de IR, a un point de/, et n un entier
naturel non nul. On dit que f admet un développement limité d'ordre n au voisinage
de a, s' il existe des nombres réels co, c 1, .. . , c 11 et une fonctions de limite nulle en 0
tels que, pour tout réel x de I :
f(x) = co + c, (x - a) + ... + c 11 (x - a)11 + (x - a)'1 s(x - a)
ce qui s'écrit aussi, avec la notation «petit o » :
f(x) = co + c, (x - a)+ . .. + cn(x - a)1
1 + o ((x - a)
11
)
Un développement limité d' une fonction au voisinage d'un point consiste donc à approcher
cette fonction par un polynôme.
Exemple
Au voisinage de zéro, la fonction sinus peut ainsi être approchée par les fonctions polynox3
x3
x5
miales X H X X H X - - et X H X - - + - :
.
'
3 ! '
3 ! 5 !
y= sin x
I
1
t
t
/;
- 1
'
x3 • xs
y= X- 3! + 5!
/
;
;
, /
y
y =x
1
1
/
x3
y= x-3!
Figure 31.1 - Le graphe de la fonction sinus et de trois de ses approximations polynomiales au
voisinage de O.
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