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Les fonctions hyperboliques inverses
1. La fonction argument sinus hyperbolique
La fonction sinus hyperbol ique est bijective de lR sur R Sa fonction réciproque est appelée argument sinus hyperbolique, notée Argsh, et vérifie, pour tout réel x :
Argsh x = ln ( x + ~ x2 + l)
Les propriétés de la fonction argument sinus hyperbolique sont les suivantes :
• La fonction argument sinus hyperbolique est continue, dérivable et strictement croissante sur R Sa dérivée est définie, pour tout réel x, par :
1
Argsh'(x) = - - -
Yx2 + i
• La fonction argument sinus hyperbolique est impaire.
y
y= Argsh x
- - - - - - - y= sh X
Figure 30.1 - La courbe représentative de la fonction argument sinus hyperbolique.
2. La fonction argument cosinus hyperbolique
La fonction cosinus hyperbolique est bijective de JR+ sur [l , +oo[. Sa fonction réciproque
est appelée argument cosinus hyperbolique, notée Argch, et telle que, pour tout x de
[1, +oo[:
Argch x = ln ( x + ~ x2 - 1)
La fonction argument tangente hyperbolique est continue sur [l, + oo[, dérivable sur
] 1, +oo[, et strictement croissante sur ] 1, +oo[. Sa dérivée est définie, pour tout x de
]1, +oo[, par:
1
Argch' (x) = - - -
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