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y
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1f y = Arccos x
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Figure 29.2- La courbe représentative de la fonction arccosinus.
3. La fonction arctangente
La restriction tanl] -~ ,H de la fonction tangente à l' intervalle ]- ~,~ [ est continue et
strictement croissante sur ]- ~, ~ [.
D'après le théorème« des fonctions réciproques» :
tanl]- i! ,i!r (]-~, ~[) =] 1im+ tan x, lim_ tan x[ =IR
2 2
2 2
X-> /!
X-> !
2
2
En outre, cette restri. ction établit une bijection de] - ~,~[ sur R La fonction réciproque
de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]- ~, ~ [ est appelée fonction arctan gente, et notée« arctan». C'est une bijection de IR sur l'intervalle ]- ~, ~ [.
Pour tout réel x , arctan x est donc 1' unique élément de l'intervalle ]- ~, ~ [ qui a pour
tangente le réel x :
7r
Par défi nition: arctan(l) = 4·
tan (arctan x) = x
Attention ! JI y a une infinité de réels dont la tangente est égale à l . Mais parmi ces réels, seul
~appartient à l'intervalle ]- Î, Î[·
Les propriétés de la fonction arctangente sont les su. ivantes :
• La fonction arctangente est continue et strictement croissante sur R C'est une conséquence directe du théorème des fonctions réciproques. De plus :
1
.
7r
tm arctan x = - -
x-.-oo
2
.
7r
hm arctan x = -
2
.
X->+ oo
77