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y = arcsin x
1C
2
y
--~~1C ~~~1 ~~~----<._~~~~~-1C ~--X
-2 -
2
-1
Figure 29.1 - La courbe représentative de la fonction arcsinus.
2. La fonction arccosinus
La restriction cosl[O,n] de la fonction cosinus à l'intervalle [O, 7r] est continue et strictement décroissante. D'après le théorème des fonctions réciproques, elle établit une
bijection de [0, 7r] sur [- 1, 1]. La fonction réciproque de cette restri. ction est appelée
arccosinus, et notée « arccos ».C'est une bijection de [-1, 1] sur l'intervalle [0, 1T].
Pour tout réel x de [-1 , 1 ], arccos x est donc !'unique élément de !'intervalle [0, 1T] qui
.
.
a pour cosinus le réel x :
cos(arccos x) = x
De même, pour tout réel x de [O, 1T] :
arccos(cos x) = x
Par définition :
1T
arccos(O) = ' 2
arccos(l) = 0
arccos(- 1) = 1T
Les propriétés de la fonction arccosinus sont les suivantes :
• La fonction arccosinus est continue et strictement décroissante sur [- 1, l ].
• La restriction cosl[O,nJ est dérivable sur [0, 7r], de dérivée x H - sin x = - Yl - cos 2 x,
qui ne s'annule pas sur ]0,7r[. La fonction arccosinus est donc dérivable sur ] - 1, l [,
sa dérivée étant définie, pour tout x de] - 1, 1 [, par :
76
1
(arccos)' (x) = - --;:::==::::::::::::===
~1 - cos 2 (arccosx)
1