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Les fonctions trigonométriques
•
inverses
1. La fonction arcsinus
La restiiction sinl [- ~ ,fl de la fonction sinus à l'intervalle[- ~ , ~] est continue et strictement croissante. D'après le théorème des fonctions réciproques :
Cette restriction établit une bijection de [- ~, ~ J sur [ -1 , 1].
La fonction réciproque de cette restriction est appelée fonction arcsinus, et notée
arcsin. C'est une bijection de [- 1, 1] sur l' intervalle [- ~, ~]. Pour tout réel x de [-1 , 1],
arcsin x est donc l'unique élément de l'intervalle[- ~,~] qui a pour sinus le réel x :
sin (arcsin x) = x
De même, pour tout réel x de[- ~ , ~] :
Par définition :
arcsin(O) = 0
arcsin(sin x) = x
arcsin(l) = ~
2
arcsin ( ~) = ~
Les propriétés de la fonction arc sinus sont les suivantes :
• La fonction arc sinus est continue et strictement croissante sur [- 1, 1 ]. C'est une
conséquence directe du théorème des fonctions réciproques.
• La fonction arc sinus est impaire. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct,
la courbe représentative de la fonction arc sinus est la courbe symétrique par rapport à
la première bissectrice de la courbe représentative de la restriction de la fonction si nus
à l ' intervalle[- ~,~].
• La restriction sinl [- ~ . ~ J est dérivable sur[- ~,~] . de dérivée
x H cosx = ~l - sin
2 (x).
Cette dérivée ne s'annulant pas sur] - ~,~ [, la fonction arcsinus est donc dérivable
sur] - 1, 1 [,sa dérivée étant définie, pour tout x de] - 1, 1 [,par:
(arcsin)' (x) =
= - - -
~ 1 - sin 2 (arcsin x) Yl - x
2
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