"O
0
c::
::J
0
v
...-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Démonstration : les deux premiers points ont été vus dans les propositions précédentes.
Le troi.sième po. int, c'est-à-dire la continuité de .r- 1 , est admis. On ne démontrera ici que
la dérivabilité de la fonction réciproque.
À cet effet, on suppose que la fonction f est dérivable en un point a de l'intervalle I, et
que .f'(a) *O.
Montrer que la fonction 11 est dérivable au point b = f(a) revient à montrer que
11
c ) - 11 (b)
le rapport
y
b
a une limite lorsque y tend vers b, en restant bi. en sûr dans
yl'intervalle J.
Pour tout y de J = 1(1), Je nombre x = 1 -
1 (y) de I vérifie la condition y = l(x). Il en
résulte :
y - b
f(x) - f(a)"
Comme la fonction 11 est continue en b, Je nombre x = 11 (y) tend vers a = 11 (b)
lorsque y tend vers b. Le rapport f(x~ =~(a) a donc une limite, puisque la fonction f
est dérivable en a et que sa dérivée f'(a) est non nulle. On obtient:
( l)'
1
r (b) = l'(a)
•
4. Représentation graphique
Soit I une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I c R.
On note J = 1(1). Par suite :
(x E I et l(x) = y) ~ (y E J et r
1
(y) = x)
Ainsi, le graphe de la fonction réciproque 11 , c' est-à-dire l'ensemble des couples
(y,l1
(y)) lorsque y parcourt l'intervalle J, est donc aussi l'ensemble des couples
(f(x), x) lorsque x parcourt l'intervalle /. Or, dans un repère orthonormé, le point de
coordonnées (a, b), (a, b) E IR.
2 , est le symétrique par rapport à la première bissectrice
du point de coordonnées (b , a).
> Graphe d'une fonction réciproque
Soit I une fonction continue, réalisant une bijection d'un intervalle I de IR. sur un intervalle J de R. Alors, le graphe de 11 est symétrique de celui de I par rapport à la
première bissectrice (qui est aussi la droite d'équation y = x).
74
y
f première
gra he de la f bissectrice
,
,
rée proque f
,
'
,
\
,
\
,
\
,
' ,
\./ ,
,
'
'
graphe de la fonction
~-#L.~~~~~~~~-- x
-1 0
- 1
Figure 28.1 - Le graphe d'une fonction bijective, et celui de sa réciproque.