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Il s'agit, ensuite, d'appliquer ces dé.finitions générales au cas particulier des fonctions
dé.finies sur un intervalle ! , non vide et non réduit à un point.
~ 1. U~e fonction [définie sur un inter:all~ l e~t, .par définit!on'. une surjecti.on del sur f(l).' Par
~
smte, la foncllon f admet une application rec1proque, definie sur f(l), si et seulement si elle
est bijective de l sur f(l), et donc si et seulement si elle est injective sur !.
2. Pour s'assurer que la fonction réciproque d' une fonction donnée f est définie sur un intervalle
J, il suffit de supposer que la fonction f est continue sur l' intervalle l car, alors, d'après le
théorème des valeurs intermédiaires, on sait que J = f(l) est un intervalle.
2. Injectivité des fonctions continues
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR, non vide, et non réduit à un point.
Alors:
• Si f est strictement monotone sur/, alors elle est injective sur/.
• Si f est continue et injective sur / , alors eJle est strictement monotone sur I.
Démonstration : Ce théorème est admis.
•
On sait déjà que l'image d'un intervalle l par une fonction continue f est un intervalle; cependant lorsque, de plus, la fonction f est strictement monotone, on peut préciser l' intervalle f(l).
>- Image d'un intervalle par une fonction continue st rictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle J, de bornes a
et b. Alors, l'intervalle f(/) a pour bornes lim f(x) et lim f(x) (ces limites pouvant être
x->a
x->b
elles-mêmes finies ou infinies) et les intervalles let f(/) sont de même nature : fermés,
ouverts, ou semi-ouverts.
3. Théorème des fonctions réciproques
T héorème
Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle !. Alors :
• L'ensemble J = f(/) est un intervalle (de même nature que!), et dont les extrémités
•
•
•
sont les limites de f aux bornes de !.
Lafonction f admet une fonction réciproque ]
1 dé.finie sur J.
La fonction réciproque 11 est continue et strictement monotone sur J, de même sens
de monotonie que f.
Si La fonction I est dérivable en un point a de 1 et si f'(a) * 0, Lalonction 11 est
dérivable au point b = f(a) et:
(
- 1 )'
l
f
(b) = f'(a)
De façon équivalente :
(
1 )'
1
r = f'of-1
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~ 1. U~e fonction [définie sur un inter:all~ l e~t, .par définit!on'. une surjecti.on del sur f(l).' Par
~
smte, la foncllon f admet une application rec1proque, definie sur f(l), si et seulement si elle
est bijective de l sur f(l), et donc si et seulement si elle est injective sur !.
2. Pour s'assurer que la fonction réciproque d' une fonction donnée f est définie sur un intervalle
J, il suffit de supposer que la fonction f est continue sur l' intervalle l car, alors, d'après le
théorème des valeurs intermédiaires, on sait que J = f(l) est un intervalle.
2. Injectivité des fonctions continues
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR, non vide, et non réduit à un point.
Alors:
• Si f est strictement monotone sur/, alors elle est injective sur/.
• Si f est continue et injective sur / , alors eJle est strictement monotone sur I.
Démonstration : Ce théorème est admis.
•
On sait déjà que l'image d'un intervalle l par une fonction continue f est un intervalle; cependant lorsque, de plus, la fonction f est strictement monotone, on peut préciser l' intervalle f(l).
>- Image d'un intervalle par une fonction continue st rictement monotone
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle J, de bornes a
et b. Alors, l'intervalle f(/) a pour bornes lim f(x) et lim f(x) (ces limites pouvant être
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elles-mêmes finies ou infinies) et les intervalles let f(/) sont de même nature : fermés,
ouverts, ou semi-ouverts.
3. Théorème des fonctions réciproques
T héorème
Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle !. Alors :
• L'ensemble J = f(/) est un intervalle (de même nature que!), et dont les extrémités
•
•
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sont les limites de f aux bornes de !.
Lafonction f admet une fonction réciproque ]
1 dé.finie sur J.
La fonction réciproque 11 est continue et strictement monotone sur J, de même sens
de monotonie que f.
Si La fonction I est dérivable en un point a de 1 et si f'(a) * 0, Lalonction 11 est
dérivable au point b = f(a) et:
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