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Fonctions réciproques
On s' intéresse, dans ce qui suit, aux conditions d'existence d'une fonction réciproque
pour une fonction définie et continue sur un intervalle, et, sous réserve d'existence, ses
propriétés : continuité, dérivabilité, représentation graphique.
1. Définitions
>- Injectivité
Étant données deux parties Pi et P2 de R, une application f
injective si, pour tout couple (x, x') E Pi x P2 :
f(x) = f(x') ~ x = x'
>- Surjectivité
Étant données deux parties Pi et P2 de JR, une application f : Pi ~ P2 est dite
surjective si tout élément y de P2 admet au moins un antécédent par f:
V y E P2, 3 x E P1 : y = f(x)
>- Bijectivité
Étant données deux parties Pi et P2 de IR, une application f : Pi ~ P2 est dite
bijective si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si tout élément y de P 2 admet un
unique antécédent par f :
V y E P2, 3 ! x E Pi : y = f(x)
>- Application identité
Étant donnée une partie P de JR, l' application
idtp: p ~ p
X H X
est appelée application identité de P.
>- Fonction réciproque
Soient P1 et P 2 deux parties de IR, et f : Pi ~ P 2 une application bijective. Pour
chaque élément y de P 2, l'unique élément x de Pi tel que f(x) = y est noté 1 - i (y).
L'application ri : P2 ~ Pi ainsi définie est appelée application réciproque de f.
Soient Pi et P2 deux parties de R, et f : Pi ~ P2 une appl ication b.ijective. Alors,
pour tout réel x de Pi :
(r
1
0 !)Cx) = riCJ(x)) = idtpl(x) = X
et, pour tout réel y de P2 :
(! 0 1-i ) (y) = f v-l (y)) = idtp2 (y) = y
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