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Formule de Taylor-Lagrange
On présente, dans ce qui suit, la formule de Taylor-Lagrange, qui généralise la formule
des accroissements finis pour les fonctions plusieurs fois dérivables.
T héorème
Soient a et b deux réels tels que a < b, et f une fonction définie sur /'intervalle [a, b].
On suppose que :
• lafonction f est nfois dérivable sur l'intervalle [a , b];
• la dérivée nème de f, f<
11 >, est continue sur l'intervalle fermé [a, b] et dérivable sur
l'intervalle ouvert ]a, b[.
Alors, il existe un réel c, appartenant à l 'intervalle ouvert ]a, b[, tel que:
f(b) = f(a) + f'(a) (b - a) + f"(a) (b - a) 2 + ... + J 2
n!
(n + l)!
Démonstration : Soit A le réel défini par :
A
(b - a)'z+I = f(b) - f(a) - (b - a) f'(a) - f" (a) (b - a) 2 - ... - J (n+l)!
2
n!
Il s'agit de montrer qu'il existe un réel c, appartenant à 1' intervalle ouvert ]a, b[, tel que :
A = /n+l)(c)
On introduit, à cet effet, la fonction cp définie, pour tout x de [a, b], par :
cp(x) = f(b) - f(x) - f' (x)(b - x) - f"(x) (b - x) 2 - .. . - J 2
n!
(n+l)!
Il est évident que :
cp(b) = 0
Le choix du nombre A conduit à :
cp(a) = 0
Par ailleurs, la fonction cp est, comme la fonction f et chacune de ses n prem ières dérivées, continue sur l'intervalle fermé [a, b], et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[.
La fonction cp satisfait donc les hypothèses du théorème de Rolle.
Il existe donc un nombre c, appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[, tel que:
cp'(c) = 0
Un calcul facile montre que :
A f
(n+ 1)( )
cp'(x) = - ·
x (b - x)n
n!
Comme le nombre c est différent de b, on peut en déduire que :
A = /n+l )(c)
•
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