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• Si la fonction f n'est pas constante, l'intervalle [m, M] n'est pas réduit à un point.
Donc l'une, au moins, des deux inégalités strictes : M > f(a) = f(b), ou m < f(a) =
f(h) est vérifiée.
On supposera, dans ce qui suit : M > f(a) (le cas m < f(a) se traite de manière
analogue).
Comme M est un point de [m, M], il existe un point c de l'intervalle [a, h] tel que
f(c) = M. Comme M > f(a) et M > f(h), c appartient en fait à l'intervalle ]a, h[. La
fonction f admet en c un maximum, étant dérivable sur ]a, bf, donc en c, elle vérifie
donc: f'(c) =O.
•
4. Le théorème des accroissements finis
Théorème
Soient a et b deux réels tels que a < b, et f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a, h ], dérivable sur l'intervalle ]a, b[. Alors, il existe un nombre c de ! 'intervalle
]a, b[ tel que :
f(b) - /(a) = (b - a) f' (c)
>- Interprétation graphique du théorème des accroissements finis
Le théorème des accroissements finis traduit, tout simplement, le fait que la courbe représentative de f possède, en c, une tangente parallèle à la corde joignant les points
(a, f(a)) et (b, f(b)) :
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Figure 26.3- Une illustration graphique du théorème des accroissements finis.
Démonstration : On considère la fonction cp définie sur l' intervalle [a, b] par:
cp(x) = f(x) - f(a) - f(b) - /(a) (x - a)
h - a
Elle est, comme la fonction f, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Par ailleurs elle
vérifie : cp(a) = cp(b). Elle satisfait donc aux hypothèses du théorème de Rolle. Ainsi, il
existe c dans l'intervalle ]a, b[ tel que :
0 = cp' (c) = f' (c) _ f(b) - f(a)
b - a
ce qui achève la démonstration.
•
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Le théorème des accroissements permet de relier les variations d' une fonction au signe de sa
dérivée.