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On voit bien dans cette démonstration l'importance de supposer que c soit intérieur à T; ainsi,
le point c n'est pas une extrémité de l' intervalle Tet les limites à gauche et à droite utilisées
dans la démonstration ont un sens.
Si on considère la restriction de l'application identité à l'intervalle [O, 1], cette restriction
présente un extremum en 1, alors que la dérivée de la fonction ne s'annule pas en 1.
2. La réciproque de la proposition précédente est fausse : une fonction dérivable sur un intervalle
peut avoir une dérivée nulle en un point qui n'est pas un extremum local. C'est le cas, par
exemple, de la fonction définie sur Ill par x H x 3 , au point O.
>- Une application pratique
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé et borné [a, b]. Si cette
fonction est dérivable sur l' intervalle ouvert ]a, b[ alors son maximum Met son minimum m sont à rechercher parmi les valeurs de la fonction f en a, ou en b , ou aux points c
où sa dérivée f' s'annule.
3. Le théorème de Rolle
3
Théorème
Soient a et b deux réels tels que a < b, et f une fonction définie et continue sur L'intervalle [a,b], dérivable sur l'intervalle ]a,b[. Alors, si f(a) = f(b), il existe un nombre c
de l'intervalle ]a, bf tel que :
f'(c) = 0
>- Interprétation graphique du théorème de Rolle
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Figure 26.2- Illustration graphique du théorème de Rolle.
Démonstration : Il faut montrer que la fonction f admet un extremum en un point de
l'intervalle ]a, b[.
Comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a,b] , l'image f([a,b]) de [a,b] ,
est un intervalle fenné borné, de la forme [m, M], (m, M) E JR. 2 , m ~M.
On distingue deux cas :
• si la fonction f est constante sur l'intervalle [a, b] , alors sa dérivée f' est identiquement nulle sur cet intervalle. N'importe quel point c de l'intervalle ]a, b[ convient,
puisqu'il vérifie f'(c) = O.
3. Ce théorème doit son nom au mathématicien fnmçais Michel Rolle (1652-1719), qui fut le premier à
établir ce résultat, dm1s le cas de fonctions polynomiales. Ses contributions portent et sur l'algèbre, et sur
l'analyse. Il est à l' origine de la notation f/X,, pour désigner la racine n~
111
• d 'un réel positif x.
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dans la démonstration ont un sens.
Si on considère la restriction de l'application identité à l'intervalle [O, 1], cette restriction
présente un extremum en 1, alors que la dérivée de la fonction ne s'annule pas en 1.
2. La réciproque de la proposition précédente est fausse : une fonction dérivable sur un intervalle
peut avoir une dérivée nulle en un point qui n'est pas un extremum local. C'est le cas, par
exemple, de la fonction définie sur Ill par x H x 3 , au point O.
>- Une application pratique
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé et borné [a, b]. Si cette
fonction est dérivable sur l' intervalle ouvert ]a, b[ alors son maximum Met son minimum m sont à rechercher parmi les valeurs de la fonction f en a, ou en b , ou aux points c
où sa dérivée f' s'annule.
3. Le théorème de Rolle
3
Théorème
Soient a et b deux réels tels que a < b, et f une fonction définie et continue sur L'intervalle [a,b], dérivable sur l'intervalle ]a,b[. Alors, si f(a) = f(b), il existe un nombre c
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On distingue deux cas :
• si la fonction f est constante sur l'intervalle [a, b] , alors sa dérivée f' est identiquement nulle sur cet intervalle. N'importe quel point c de l'intervalle ]a, b[ convient,
puisqu'il vérifie f'(c) = O.
3. Ce théorème doit son nom au mathématicien fnmçais Michel Rolle (1652-1719), qui fut le premier à
établir ce résultat, dm1s le cas de fonctions polynomiales. Ses contributions portent et sur l'algèbre, et sur
l'analyse. Il est à l' origine de la notation f/X,, pour désigner la racine n~
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• d 'un réel positif x.
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