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>- Extremum local d'une fonction
Soient f une fonction définie sur un intervalle l de R, et c un point de /. La fonction f
admet un extremum local en c si elle admet en c un minimum local , ou un maximum
local.
>- Dérivée et extremum local
Soient f une fonction définie sur un intervalle Ide R, etc un point intérieur à I (c'est-àdire qui ne soit pas une borne de/). Si f est dérivable en cet admet en c un extremum
local, alors :
f'(c) = 0
>- Interprétation graphique
Une fonction admettant des extremums locaux aura donc, en ces points, des tangentes
horizontales.
y
maximum local
,;/
maximum local
,;/
co ::...e-~~~~~~~~~4-~---x
-1
\
minimum local
Figure 26.1- Le graphe d'une fonction avec des extremums locaux.
Démonstration : Le fait que f possède une dérivée nulle au point c est une propriété
locale (elle ne dépend que des valeurs de f au voisinage du point c).
Quitte à considérer la restriction de f à un sous-intervalle ouvert de /, de la forme
]c - Tf, c + Tf[, 0 < T/ < c, on peut supposer que f possède un extremum en c.
Supposons, dans un premier temps, que f possède un maximum en c. Alors, pour tout
x de I tel que x < c : f(x) ~ f(c) . Il en résulte :
f(x) - .f(c) ~ 0
x - c
et donc:
f'(c) = lim .f(x) - f(c) ~ 0
X->C
X - C
De même, pour tout x de I tel que x > c: f(x) ~ f(c). Il en résulte:
f(x) - .f(c) ~ 0
x - c
et donc:
f' (c) = lim f(x) - f(c) ~ 0
X->c+
X - C
D'où, nécessairement: f'(c) =O.
Le cas où f possède un minimum en c se traite de façon analogue (il suffit de changer
1~ -n.
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