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Théorème des accroissements finis
et théorème de Rolle
Une fonction dérivable, présentant un extremum en un point de son domaine de définition, possède, en ce point, une dérivée nu lle. En pratique, cette remarque permet de trouver l' image d'un intervalle fermé borné par une fonction dérivable. Plus
fondamentalement, elle est le point clef de la démonstration du théorème de Rolle
et de ses conséquences : le théorème des accroissements finis et la formule de
Taylor-Lagrange.
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1. Extremum sur un intervalle
>- Maximum d'une fonction sur un intervalle
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R, et e un point de / . La fonction f
admet un maximum en e si, pour tout x de 1 :
f(x) ~ f(e)
>- Minimum d'une fonction sur un intervalle
Soient f une fonction définie sur un intervalle 1 de R, et c un point de J. La fonction f
admet un minimum en e si, pour tout x de I :
f(x) ;;::: f(c)
>- Extremum d'une fonction sur un intervalle
Soient f une fonction définie sur un intervalle 1 de R, et e un point de / . La fonction f
admet un extremum en c si elle admet en e un maximum ou un minimum.
2. Extremum local
>- Maximum local d'une fonction
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de JR, et e un point de / . La fonction f
admet un maximum local en e s' il existe un intervalle ouvert de la forme Je - TJ, e + ry[,
0 < T/ < c, tel que la restriction de f à cet intervalle admette un maximum en c :
V x E Je - TJ, e + ry[: f(x) ~ f(e)
>- Minimum local d'une fonction
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R, et c un point de l . La fonction f
admet un minimum local en e s' il existe un intervalle ouvert de la forme ]e - TJ, e + ry[,
0 < T/ < c, tel que la restriction de f à cet intervalle admette un minimum en c:
V x E Je - TJ, e + ry[ : f(x) ;;::: f(c)
1. Brook Taylor (1685- 1731), mathématicien, historien des sciences, musicien et peintre anglais. C'est lui
qui découvrit l'intégration par parties, et est, bien sûr, à l'origine des« développements de Taylor ».
2. Joseph Louis, comte de Lagrange (1736-1813), mathématicien, mécanicien et astronome italien. Il fut
l'initiateur du calcul variationnel. En parallèle, il apporta de nombreuses contributions en algèbre, à la
théorie des nombres, au calcul infinitésimal, aux probabilités, mais aussi à la mécanique.
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et théorème de Rolle
Une fonction dérivable, présentant un extremum en un point de son domaine de définition, possède, en ce point, une dérivée nu lle. En pratique, cette remarque permet de trouver l' image d'un intervalle fermé borné par une fonction dérivable. Plus
fondamentalement, elle est le point clef de la démonstration du théorème de Rolle
et de ses conséquences : le théorème des accroissements finis et la formule de
Taylor-Lagrange.
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1. Extremum sur un intervalle
>- Maximum d'une fonction sur un intervalle
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R, et e un point de / . La fonction f
admet un maximum en e si, pour tout x de 1 :
f(x) ~ f(e)
>- Minimum d'une fonction sur un intervalle
Soient f une fonction définie sur un intervalle 1 de R, et c un point de J. La fonction f
admet un minimum en e si, pour tout x de I :
f(x) ;;::: f(c)
>- Extremum d'une fonction sur un intervalle
Soient f une fonction définie sur un intervalle 1 de R, et e un point de / . La fonction f
admet un extremum en c si elle admet en e un maximum ou un minimum.
2. Extremum local
>- Maximum local d'une fonction
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de JR, et e un point de / . La fonction f
admet un maximum local en e s' il existe un intervalle ouvert de la forme Je - TJ, e + ry[,
0 < T/ < c, tel que la restriction de f à cet intervalle admette un maximum en c :
V x E Je - TJ, e + ry[: f(x) ~ f(e)
>- Minimum local d'une fonction
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R, et c un point de l . La fonction f
admet un minimum local en e s' il existe un intervalle ouvert de la forme ]e - TJ, e + ry[,
0 < T/ < c, tel que la restriction de f à cet intervalle admette un minimum en c:
V x E Je - TJ, e + ry[ : f(x) ;;::: f(c)
1. Brook Taylor (1685- 1731), mathématicien, historien des sciences, musicien et peintre anglais. C'est lui
qui découvrit l'intégration par parties, et est, bien sûr, à l'origine des« développements de Taylor ».
2. Joseph Louis, comte de Lagrange (1736-1813), mathématicien, mécanicien et astronome italien. Il fut
l'initiateur du calcul variationnel. En parallèle, il apporta de nombreuses contributions en algèbre, à la
théorie des nombres, au calcul infinitésimal, aux probabilités, mais aussi à la mécanique.
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