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0
u
f et g est n fois dérivable sur 1 ; pour tout couple (a,/3) de réels, a f + f3 g est n fois
dérivable sur l et: (a f + f3 g)(n) = a _f(n) + f3 g<
11 )
>- Formule de Leibniz 1
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle l de R, et n un entier naturel.
On suppose que f et g sont n fois dérivables sur l. Alors, la fonction produit f g est n
/!
fois dérivable sur 1, et .. u g)
où, pour tout entier k de { 0, ... , n}, C~ désigne le coefficient binomial : ( nk ) = n !
k ! (n- k) !
Par convention, ce coefficient est nul si k > n.
Démonstration : On ne donne, ici, que des éléments de preuve. Ce résultat se démontre
par récurrence, à l'aide de la formule donnée par le triangle de Pascal; étant donné un
entier naturel non nul n, alors, pour tout entier naturel k ~ n - 1 :
ck ck+ i = ck+ i
n + n
n+ I
soit: ( n) ( n ) (n + 1)
k + k+ I = k+ l
•
>- Dérivée nième d'un quotient de fonctions, n E N
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle I de R, et n un entier naturel.
On suppose que f et g sont n fois dérivables sur 1, et que g ne s'annule pas sur 1. Alors,
le quotient [. est nfois dérivable sur l .
g
>- Dérivée nième de la composée de deux fonctions, n E N
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de lR, et g une fonction définie sur un
intervalle J contenant f (I).
Si f est n fois dérivable sur/, et g est n fois dérivable sur J, alors la fonction composée
go f est n fois dérivable sur 1.
Il ex iste une formule permettant de calculer la dérivée n ième d' une fonction composée. Cette
formule est due à Faà di Bruno
2 :
(k)
f
( o j')(n) = 1 "\""' g o
g
n. L..J k!
l .;;k.;;11
n
Le lecteur intéressé pourra trouver plus de précisions dans f 41, page 165 .
1. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), philosophe, mathématicien, jUJiste et philologue allemand. Il
apporta des contributions fondamentales en calcul différentiel et intégral. Il fut, également, l'inventeur d'une
des premières machines à calculer. Ses œuvres phi losophiques sont, elles aussi, de première importance.
2. Francesco Faà di Bruno (1825-1888), prêtre et religieux italien, en même temps que mathématicien
renommé, et musicien
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f et g est n fois dérivable sur 1 ; pour tout couple (a,/3) de réels, a f + f3 g est n fois
dérivable sur l et: (a f + f3 g)(n) = a _f(n) + f3 g<
11 )
>- Formule de Leibniz 1
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle l de R, et n un entier naturel.
On suppose que f et g sont n fois dérivables sur l. Alors, la fonction produit f g est n
/!
fois dérivable sur 1, et .. u g)
où, pour tout entier k de { 0, ... , n}, C~ désigne le coefficient binomial : ( nk ) = n !
k ! (n- k) !
Par convention, ce coefficient est nul si k > n.
Démonstration : On ne donne, ici, que des éléments de preuve. Ce résultat se démontre
par récurrence, à l'aide de la formule donnée par le triangle de Pascal; étant donné un
entier naturel non nul n, alors, pour tout entier naturel k ~ n - 1 :
ck ck+ i = ck+ i
n + n
n+ I
soit: ( n) ( n ) (n + 1)
k + k+ I = k+ l
•
>- Dérivée nième d'un quotient de fonctions, n E N
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle I de R, et n un entier naturel.
On suppose que f et g sont n fois dérivables sur 1, et que g ne s'annule pas sur 1. Alors,
le quotient [. est nfois dérivable sur l .
g
>- Dérivée nième de la composée de deux fonctions, n E N
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de lR, et g une fonction définie sur un
intervalle J contenant f (I).
Si f est n fois dérivable sur/, et g est n fois dérivable sur J, alors la fonction composée
go f est n fois dérivable sur 1.
Il ex iste une formule permettant de calculer la dérivée n ième d' une fonction composée. Cette
formule est due à Faà di Bruno
2 :
(k)
f
( o j')(n) = 1 "\""' g o
g
n. L..J k!
l .;;k.;;11
n
Le lecteur intéressé pourra trouver plus de précisions dans f 41, page 165 .
1. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), philosophe, mathématicien, jUJiste et philologue allemand. Il
apporta des contributions fondamentales en calcul différentiel et intégral. Il fut, également, l'inventeur d'une
des premières machines à calculer. Ses œuvres phi losophiques sont, elles aussi, de première importance.
2. Francesco Faà di Bruno (1825-1888), prêtre et religieux italien, en même temps que mathématicien
renommé, et musicien