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Dérivées successives
1. Dérivée nième
Étant donné un entier naturel non nul n, on définit, sous réserve d'ex istence bien sûr
(c'est-à-dire lorsque cela est possible), la dérivée nième de f, notée J'
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>, par récurrence:
avec la convention :
/0) = f
>- Fonction n fois dérivable, n E N
Si f admet une dérivée nième, n E N, on dit que f est n fois dérivable sur ! .
>- Fonction indéfiniment dérivable
Si, pour tout entier naturel n, f admet une dérivée nième on dit que f est indéfiniment
dérivable sur 1.
Exemples
1. Les fonctions polynômes, les fonctions trigomométriques sinus et cosinus, la fonction exponentielle x H eX, sont indéfi ni ment dérivables sur R.
2. Les fractions rationnelles sont indéfiniment dérivables sur tout intervalle qui ne contient
pas de racine du dénominateur.
3. La fonction logarithme népérien x H ln x et la fonctio n racine carrée x H yx sont indéfi -
niment dérivables sur ]0, oo(.
2. Classes de fonction
>- Fonction de classe en, n E N
Soient n un entier naturel non nul, et f une fonction définie sur un intervalle 1 de R
On dit que f est de classe C' sur I si f est n fo is dérivable sur ! , et si sa dérivée nième ,
ln), est continue sur/.
>- Fonction de classe C°
0
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R
On dit que f est de classe C
00 sur I si, pour tout entier naturel n, f est de classe C
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sur / .
3. Théorèmes
>- Dérivée nième d'une combinaison linéaire de fonctions, n E N
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle I de R, et n un entier naturel.
On suppose que f et g sont n fois dérivables sur 1. Alors, toute combinaison linéaire de
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