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>- Dérivée à gauche d'une fonction
Soit f une fo nction défi nie sur un intervalle ouvert I de IR, et a un point de / . La fonction
f est dite dérivable à gauche en a si la fonction T , définie pour tout x de I \{a}, par:
r(x) = f(x) - f(a)
x - a
a une limite à gauche en a, c'est-à-dire lorsque x tend vers a par valeurs inférieures.
Cette limite est appelée dérivée à droite de la fo ncti on f en a , et notée f~(a) .
>- Demi-tangente à gauche
Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de IR, et a un point de /. On
suppose que la fonction f est dérivable à gauche en a. La demi-droite d' équation
y = f(a) + (x - a) f~(a) pour x ~ a
est la demi-tangente à gauche en a de la courbe représentative de f.
Propriété
Soient f une fo nction définie sur un intervalle ouvert I de IR, et a un point de /.
La fonction f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite
en a, et si ses dérivées à gauche et à droite en a sont égales.
y
- 1
0
X
- 1
Figure 24.1- Le graphe d'une fonction non dérivable en a : les deux dérivées à gauche et à droite
ne sont pas égales. Il y a une demi-tangente à gauche, et une d emi-tangente à droite. La courbe
possède un point anguleux.
Exemple
La fonction valeur absolue, qui, à tout réel x, associe sa valeur absolue lxl, n' est pas dérivable
en zéro, mais possède des dérivées à droite et à gauche en zéro.
3. Dérivabilité et variations
>- Caractérisation des fonctions constantes dérivables
Théorème
Soient I un intervalle de R, et f une fonction dérivable sur /. Alors, f est constante sur
I si et seulement si sa dérivée f' est identiquement nulle sur I :
VxE l : f' (x) = O
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