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considérer deux fonctions f et g définies sur un même intervalle J de iR, et a un point de /.
Alors, compte tenu de l'identité :
(f + g)2 = 12 + 2 f g + g2
on obtient, à l ' aide de la formule donnant la déiivée d ' une fonction composée:
2 (f + g) (/' + g') = 2 f f' + f' g + f g' + 2 g g'
ce qui conduit donc à :
(f g)' = J' g + f g'
Théorème
Toute fonction dérivable sur un intervalle I de IR y est continue.
>- Primitive
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle l de IR, continue sur l. On dit que F est
une primitive de f sur 1 si, pour tout réel x de 1 :
F'(x) = f(x)
~ Une fonction continue sur un intervalle l y admet une infinité de primitives!
Exemple
La fonction qui, à tout réel x, associe x
2 , est une primitive sur IR de la fonction qui, à tout réel x,
associe 2 x. Mais la fonction qui, à tout réel x, associe x
2 + 1, est aussi une primitive sur IR de
la fonction qui, à tout réel x, associe 2 x.
2. Dérivabilité des fonctions définies par morceaux
Pour pouvoir étudier la dérivabilité en un point de raccordement des fonctions définies
par morceaux, il est nécessaire d'introduire les notions de dérivée à droite et à gauche.
>- Dérivée à droite d'une fonction
Soit f une fo nction définie sur un intervalle ouve1t 1 de IR, et a un point de I. La fonction
f est dite dérivable à droite en a si la fonction T, définie, pour tout x de I \ {a}, par:
r(x) = f(x) - f(a)
x - a
a une limite à droite en a, c'est-à-dire lorsque x tend vers a par valeurs supérieures.
Cette limite est appelée dérivée à droite de la fonction f en a, et notée .f~(a) .
>- Demi-tangente à droite
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert Ide IR, et a un point de/. On suppose
que la fonction f est dérivable à droite en a. La dem i-droite d'équation :
y = f(a) + (x - a) f~(a) pour x ~ a
est la demi-tangente à droite en a de la courbe représentative de f.
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