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Dérivabilité sur un intervalle
1. Conditions de dérivabilité sur un intervalle
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R On dit que la fonction f est
dérivable sur I si f est dérivable en tout point de / . On appelle fonction dérivée de f
la fonction f' défini e sur l et qui , à chaque point a de l'intervalle / , associe f'(a) .
~ Dérivabilité et opérations algébriques
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle I de R Alors :
• Si f et g sont dérivables sur / , les fonctions f + g et f g sont dérivables sur !, et, pour
tout x de I :
Cf+ g)' (x) = f' (x) + g' (x)
(fg)' (x) = f' (x) g(x) + f(x) g' (x)
1
• Sig ne s'annule pas sur!, et si g est dérivable sur!, lafonction - est dérivable sur!.
g
De plus, pour tout x de l :
( !)' (x) = _ g'(x)
g
g(x)2
~ Dérivabilité des fonctions composées
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de IR, et g une fonction définie sur un
intervalle J contenant f (l).
Si f est dérivable sur /, et si g est dérivable sur J, alors la fonction composée go f est
dérivable sur l et, pour tout x de l :
(go f) ' (x) = f' (x) g' (f(x))
Exemple
Soit œ un réel non nul. On considère la fo nction f qui, à tout réel x, associe cos(x2). f est
dérivable sur IR, et, pour tout réel x :
f'(x) = - 2x sin(x
2 )
Le théorème de dérivabilité des fonctions composées peut être considéré comme l'un des plus
importants du calcul des dérivées. Une application est de l'utiliser pour obtenir la dérivée
d'un quotient de fonctions , ou, encore, pour obtenir celle d'un produit; à cet effet, il suffit de
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