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• Si g(a) =f:. 0, et si g est dérivable en a, la fonction - est définie sur un intervalle de la
g
forme ]a - TJ, a + TJ[ n /, 0 < TJ < a, et est dérivable en a. De plus :
( !)'(a) = - g'(a)
g
g(a)2
>- Dérivabilité des fonctions composées
Théorème
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de IR., et g une fonction définie sur un
intervalle J contenant f ( /).
Si f est dérivable en un point a de!, et si g est dérivable au point f(a), alors la.fonction
composée gof est dérivable en a et: (go f)' (a) = f'(a) g' (f(a))
Démonstration: Posons b = f(a). La dérivabilité de la fonction f en a s'écrit:
f(x) = f(a) + (x - a)J' (a) + (x - a) t:1 (x - a)
où s 1 est une fonction de limite nulle en O.
La dérivabilité de la fonction g en b s'écrit:
g(x) = g(b) + (x - b)g'(b) + (x - b)t:2(x - b)
où s 2 est une fonction de limite nulle en O.
En remplaçant x par f(x) dans la deuxième formule, on obtient :
g(f(x)) = g(b) + ((x - a) f' (a) + (x - a) s 1 (x - a))g' (b) + ((x - a) f' (a)
+ (x - a)s1(x - a))t:2(f(x) - b)
On remarque alors que, f étant continue en a, on peut écrire :
f(x) - b = f(x) - f(a) = s3(x - a)
où t: 3 est une fonction de limite nulle en O.
Par suite :
s2 (f(x) - b) = s(x - a)
où, pour alléger les écritures, et, de façon générique, on décide de désigner par t:(.)
x H s(x) n'importe quelle fonction de limite nulle en O.
Finalement, en regroupant les termes qui contiennent à la fois un facteur (x - a) et un
facteur t:(x - a), on obtient :
(go f) (x) = g (f(x)) = g(b) + (x - a) f' (a)g' (b) + (x - a) t:(x - a)
ce qui montre que la fonction g of est dérivable en a et que :
(go f)' (a) = f' (a) g' (f(a))
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