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La fonction f est dite dérivable en a s'il existe deux réels A et B tels que :
f(x) = A + B(x - a) + (x - a) s(x - a)
où s est une fonction de limite nulle en O. On a alors : A = f(a)
B = f'(a)
La deuxième définition présente l'avantage de pouvoir être généralisée aux fonctions de plusieurs variables. Elle a aussi la conséquence immédiate suivante :
Propriété
Toute fonction f dérivable en un point a y est continue.
~
La réciproque de cette proposition est FAUSSE!
~
Ainsi, la fonction x H lxl est continue en 0, mais n'est pas dérivable en ce point.
Exemple : Une fonction continue partout, mais nulle part dérivable
Soient a E JO, 1 [,et b un réel tel que ab > 1 +
3
2
7r. La fonction de Weierstrass
+oo
x E IR H La" cos (b
11 n x)
11=0
est continue partout, mais nulle part dérivable, ce qui signifie qu'elle n'admet, nulle part, de
tangente.
y
Figure 23.2 - La courbe représentative de la fonction de Weierstrass, pour a= : 0
• et b =
1
1
1
0
a.
Les sismogrammes constituent, par exemple, des exemples de courbes continues, mais n'admettant nulle part de tangente.
2. Opérations algébriques et composition
:>- Dérivabilité en un point et opérations algébriques
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle 1 de R, et a un point de 1.
Alors:
• Si f et g sont dérivables en a, les fonctions f + g et f g sont dérivables en a, et :
(f + g)' (a) = f'(a) + g'(a)
(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g' (a)
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