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Dérivabilité en un point
1. Conditions de dérivabilité
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle Ide IR, non vide, non réduit à un point,
et a un point de 1. La fonction f est dite dérivable en a si la fonction T, définie, pour
tout x de I \{a}, par:
T(x) = f(x) - f(a)
x-a
admet une limite en a. Dans ces conditions, la limite de la fonction T en a s'appelle
dérivée de la fonction f en a, et se note f'(a).
~ Interprétation graphique
E ,
d
, d
, J d. .
d l 1
.
f(x2) - f(x1)
. 1
tant onnes eux ree s 1stmcts x 1 et x2 e , e quottent
est, tout s1mp ex2 - x1
ment, le coeffici ent directeur de la corde joignant les points M 1 et M 2 , de coordonnées
respectives (x 1 , f(x 1 )) et (x2, f(x2)), si on se place dans un repère orthononné direct. Étudier ce qui se passe lorsque x 1 = a et x 2 tend vers x 1 revient donc à étudier la position
limjte de la sécante à la courbe en a :
y
-1
' '
'~ .... , , tangente
:
:v
X
a
Xz
"
y
sécante
...
"':""'', .... !..- .. -.... -- tangente
-~1~-- ~1,..._,, 0'--~....__~~ ' - '~~ y~ ,~ .. ~ .. ~~~x
a
x 2 ',~
.. ._
'
....
Figure 23.1 - La sécante, la position limite de la sécante, et la tangente.
La tangente à la courbe représentative de f en a ayant pour équation y = (x-a) f' (a)+
f(a), la fonction affine définie sur lR par x H (x -a) f' (a)+f(a) permet donc d'approcher
f par une fonction affine au voisinage de a.
On peut, de façon équivalente, donner pour la dérivabilité la définition su ivante :
Définition
Soient f une fonction définie sur un intervalle Ide IR, non vide, non réduit à un point,
et a un point de/.
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