....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
• Lafonction tangente est continue sur tout intervalle de la forme
]- ~ + k 1f, ~ + k 1f, [, k E Z.
• Les fonctions x H X', a E IR, sont continues sur ]O, + oo[.
Ces théorèmes permettent souvent de conclure à la continuité d ' une fonction sur son ensemble
de définition, à l'exception éventuelle de quelques points pour lesquels on doit faire une étude
directe locale. C'est systématiquement le cas des points de raccordement lorsque la fonction
est définie par morceaux, ou quand la fonction a été obtenue en prolongeant par continuité une
autre fonction a priori non définie en un point. Ainsi, la fonction :
x H { x sin ( ~) si
0
si
X :;é Û
x=O
est continue sur R
3. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle l de IR, et a et b deux réels
de l. Alors, tout réel compris entre f(a) et f(b) possède au moins un antécédent par la
fonction f.
y
1
,' 1
0
~~~~~~~ ' --..~~~~~~~~---~~~___,,__x
a
b
-1
:
I -1
réel
entre f(a) et f(b)
antécédent
Figure 22.1 - Illustration graphique du théorème des valeurs intermédiaires.
On peut aussi énoncer ce théorème sous la forme suivante : l' image d'un intervalle par une
fonction continue est un intervalle.
4. Théorème de Weierstrass, ou des bornes atteintes
Théorème
Soient f une fonction définie et continue sur un segment 1 de IR, et a et b deux réels de 1.
Alors, f y est bornée et atteint ses bornes, ce qui signifie qu 'il existe deux réels met M
tels que, pour tout réel x de l :
m ~ f(x) ~ M
56