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Fonctions continues sur un intervalle
1. Continuité sur un intervalle
On étend, ici, la notion de continuité en un point à un intervalle.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de R O n dit que la foncL ion f est
continue sur 1 si f est continue en tout point de 1, soit, de façon formelle :
V xo E / , Vs > 0, 317 > 0, V x E 1 : lx - xol ~ 17 ~ lf(x) - f(xo)I ~ s
2. Théorèmes de continuité globale
Les théorèmes de continuité en un point se traduisent immédiatement en des théorèmes
de continuité globale :
>- Continuité et opérations algébriques
Théorème
Soient f et g des fonctions dé.finies et continues sur un intervalle I de R Les fonctions
f + g et fg sont définies et continues sur l.
1
De plus, si la fonction g ne s'annule pas sur ! , la fonction - est définie et continue sur !.
g
>- Continuité des fonctions composées
Théorème
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle Ide IR, et g une fonction définie
et continue sur un intervalle J c R contenant f (I).
La fonction composée go f est définie et continue sur l'intervalle l.
>- Continuité des fonctions usuelles
Théorème
• Les fonctions polynômes sont continues sur R
• La fonction logarithme népérien est continue sur ]0, +oo[.
• La fonction exponentielle est continue sur R
• Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R
Corollaire
Les fonctions construites à partir des fonctions usuelles par opérations algébriques et
composition sont continues sur tout intervalle où elles sont définies :
L fi
.
fi .
. li
d l j'
P(x)
.
• es onctzons « ractzons ratzonne es », e a orme x H Q(x) sont continues sur tout
intervalle où le polynôme Q ne s'annule pas.
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