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>- Opérations algébriques sur les fonctions continues
Théorème
Soient f et g des fonctions définies sur un même intervalle l de JR, et a un point de !.
Alors:
• Si f et g sont continues en a, les fonctions f + g et fg sont définies sur 1 et continues
ena.
l
• Si g(a) =F 0, et si g est continue en a, la fonction - est définie sur un intervalle de la
g
forme ]a - ry, a + ry[ n !, 0 < ry < a, et est continue en a.
>- Continuité des fonctions composées
Théorème
Soient f une fonction d~finie sur un intervalle 1 de JR, et g une fonction d~finie sur un
intervalle J c lR contenant f (l) : f(l) c J.
Si f est continue en un point a de l et si g est continue au point f(a) E / , la fonction
composée go f est définie sur l'intervalle I et continue en a.
>- Continuité des fonctions usuelles
Théorème
Les fonctions usuelles, c'est-à-dire:
• la fonction identité x H x;
• la fonction logarithme népérien x > 0 H ln x;
• la fonction exponentielle,
• les fonctions sinus et cosinus,
• les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique,
sont continues en tout point de leur domaine de définition.
Corollaire
Les fonctions construites à partir des fonctions usuelles par opérations algébriques et
composition sont continues en tout point où elles sont définies.
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Quelques conséquences simples :
• Les fonctions polynômes, de la forme X E Ill H a,, X
1 + an- 1 x-r-I + ... + ao, n E N*'
(a 0 , ... , a 11 ) E R.
11 + 1 , sont continues en tout point de R
• Les fonctions «fractions rationnelles» x H P(x) (où P et Q sont des polynômes et Q
Q(x)
n'est pas identiquement nul) sont continues en tout point où le polynôme Q ne s'annule
pas.
• Les fonctions de la forme x H X", a E R., sont continues en tout poi nt où elles sont définies.