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Figure 21.3 - La courbe représentative de la fonction «partie entière».
>- Prolongement par continuité en un point
Théorème
Soient f une fonction dé.finie sur un domaine V 1 de JR, à valeurs dans JR, et a un réel
donné n'appartenant pas à V J"
On suppose que f admet une limite finie t en a. A lors, la fonction f dé.finie pour tout x
de V f U {a} par :
f(x) = {f(x) s~ x *a
f Sl X = a
est continue en a, et constitue le prolongement par continuité de .f en a.
Exemple
On considère la fonction qui, à tout réel x non nul, associe x cos ( ~). Cette fonction est définie
sur iR.*, mais peut être prolongée par continuité sur ~ par la fonction:
. {X COS(~) Si
XH
X
0
si
>- Caractérisation séquentielle de la continuité
Théorème
x;t:O
x= O
Soient f une fonction dé.finie sur un intervalle I de JR, à valeurs dans JR, et a un réel
donné dans/. Il y a équivalence entre les propriétés suivantes :
• f est continue en a;
• Pour toute suite (un)neN" à valeurs dans 1, de limite a, la suite (j(u 11 )) 11 EN converge
vers f(a).
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Partie 3