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Continuité d'une fonction
en un point
1. Continuité en un point (Caractérisation de Weierstrass)
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de R, non vide, non réduit à un point,
et a un point de J. La fonction f est dite continue en a si, pour tout réel strictement
positifs, il existe un réel strictement positif 17 tel que, pour tout réel x de / vérifiant
lx - al ~ r7, on ait lf(x) - f(a)I ~ E, soit, en langage formalisé
1 :
Vs > 0, 317 > 0, V x E l : lx - a l ~ 1] ~ lf(x) - f(a)I ~ e
y
X
-1 0
-1
Figure 21.1- Le graphe d'une fonction discontinue en un point a.
Dire qu'une fonction est continue signifie, tout simplement, que sa courbe représentative ne
présente pas de« sauts» . Une fonction continue en un point a admet une limite en a.
>- Continuité à gauche
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle 1 de R, non vide, non réduit à un point, et
a un point de/. La fonction f est dite continue à gauche en a si :
lim f(x) = f(a)
x--.a1. Cette caractérisation a été donnée par le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815-1897).
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