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Fonctions puissances « non entières »
1. Sens de variation des fonctions puissances non entières
Soit œ un réel non entier. La fonction x H _rr est définie sur IR: . De plus :
• Si a> 0, la fonction x H X:X est croissante sur IR:.
• Si a < 0, la fonction x H xa est décroissante sur IR: .
2. Comparaison des fonctions puissances non entières
Soient a et f3 deux réels non entiers tels que a ~ {3. Alors :
• pour tout réel x de ]O, l ] : ~ ;;::: .xf3;
• pour tout réel x ;;::: 1 : _rr ~ .xf3.
Exemple
Pour tout réel x de ]0, 1] :
y
0
Figure 18.1 - Les graphes des fonctions puissances non entières.
3. limites usuelles des fonctions puissances non entières
Soit œ un réel strictement positif, non entier. Alors :
4. Croissances comparées
limx_,o+X" = Q+
lim x" = +oo
x-.+oo
lim x-a = +oo
x ->O•
lim x-(J' = o+
x- +oo
Soit a un réel strictement positif, et f3 un réel quelconque. Alors :
ex
lim - = +oo
x-++oo _x(f
ex
lim -
= +oo
x -++oo x-cr
xa
lim - - = +oo
x-++oo (ln x'/3
lim xœ (ln x'/3 = 0
x-;Q+
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