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26.c) On en déduit:
lim rx t e- 1 2 dt =
X-> +oo ) 0
lim { (1 t e12 dt+ (1 t e- 1 2 dt}
X-> +oo Jo
Jo
= lim fo
1
t e-r2 dt+ lim fn
1
t e12 dt
= X-HÏol, : -1 2 dt + li:-Hrl t : -1 2 dt
o
X->+oo Jo
=
1
l
l
= - - + - + -
2e
1
2 2e
-
2
C'est ce que l'on appelle une intégrale impropre, que l'on note L +oo t e-r2 dt.
MM Soit f une fonction définie sur JR.+ , continue sur JR.+ , décroissante sur R+ .
On considère la suite (un)neN définie par :
V n E N u,, = /(n)
27.a) Pour tout entier naturel non nul k :
468
k - 1
k
k+l
I
k+I
f(t)dt représente l'aire sous la courbe représentative de f entre les points d'absk
cisses respectives k et k + 1.
La fonction f étant décroissante sur JR.+, cette aire est plus petite que l'aire du rectangle
de hauteur f(k), et de largeur l :
('<+I
Jk f(t) dt~ f(k)
De même, ( k f(t) dt représente l'aire sous la courbe représentative de f entre les points
Jk-)
d'abscisses respectives k - l et k.
La fonction f étant décroissante sur JR.+, cette aire est plus grande quel ' aire du rectangle
de hauteur f(k), et de largeur 1 :
f(k) ~ I~I j(t) dt